인문계열 2번

2. ④에 관한 다음의 질문들에 근거를 제시하여 답하시오.

1) (가)의 상황에서 $\displaystyle \alpha=0$이라고 하자. 만약 정부가 A와 B의 만족도의 합을 가장 크게 만드는 노력의 수준을 A와 B에게 정해 주려고 한다면, 정부가 A와 B에게 부여할 노력의 조합을 구하시오.

2) (가)의 상황에서 $\displaystyle \alpha=0$이라고 하자. A는 자신의 만족도를 높이기 위하여 노력의 수준을 선택한다. B의 노력이 10일 때, A의 노력을 구하시오. 또 B의 노력이 20일 경우에는 A의 노력이 어떻게 되는지 구하시오. (단, 만족도가 같다면 A는 높은 수준의 노력을 선택하며, 이는 이후의 질문들에서도 마찬가지이다.)

3) (가)의 상황에서 A는 자신의 만족도를 높이기 위하여 노력의 수준을 선택한다. A로 하여금 20의 노력을 선택하게 만드는 $\displaystyle \alpha$의 범위를 구하시오.

4) (나)의 상황에서 A는 자신의 만족도를 높이기 위하여 노력의 수준을 선택한다. A로 하여금 20의 노력을 선택하게 만드는 $\displaystyle \alpha$의 범위를 구하시오. 이를 위의 질문 3)의 결과와 비교해 (다)의 주장을 평가하시오.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: (나)에서 A와 B의 노력을 각각 $\displaystyle x,y$, 만족도를 각각 $\displaystyle U,V$라 하면, 연립식으로부터 $\displaystyle (1-\alpha^2)U=\frac{(3\alpha-2)x+(3-2\alpha)y}{5}$를 얻는다. $\displaystyle \alpha=1$이면 $\displaystyle 1-\alpha^2=0$이므로 양변을 $\displaystyle 1-\alpha^2$로 나누어 $\displaystyle U$를 구할 수 없다. 원래 연립식을 더하면 $\displaystyle x+y=0$이어야 하므로, 어느 한 사람이라도 양의 노력을 들이면 만족도를 정하는 해가 없다. 두 사람 모두 노력 $\displaystyle 0$을 선택하면 $\displaystyle U=V$라는 관계만 정해져 만족도가 하나로 정해지지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. (나)에서 $\displaystyle \alpha\ne1$일 때, A의 만족도에서 자기 노력의 계수는 $\displaystyle \frac{3\alpha-2}{5(1-\alpha^2)}$이다. $\displaystyle \alpha>1$이면 이 계수가 음수이므로 A는 노력 $\displaystyle 0$을 선택한다. $\displaystyle 0\le\alpha<1$에서는 이 계수가 $\displaystyle 0$ 이상일 때 노력 $\displaystyle 20$을 선택하며, $\displaystyle \alpha=\frac23$도 만족도가 같으면 높은 노력을 선택한다는 조건에 따라 포함된다. 따라서 A가 노력 $\displaystyle 20$을 선택하는 범위는 $\displaystyle \frac23\le\alpha<1$이다. 이는 (가)의 결과인 $\displaystyle \alpha\ge\frac23$과 다르므로, 대학 채점기준의 두 범위가 같다는 설명은 성립하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.