자연계열 1번

1-1) 조건 (가) (i)로부터$\displaystyle \lim_{h\to\infty}f(h)\frac{\ln(h+1)-\ln(h)}h=\lim_{h\to\infty}\left(\frac{f(h)}{h^2}\right)\left(\ln\left(1+\frac1h\right)^h\right)=\lim_{h\to\infty}\left(\frac{f(h)}{h^2}\right)=1$를 얻고, 이차함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle f(x)=x^2+cx+d$의 형태임을 유도한다. 조건 가) (ii)로부터$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0}\frac{\int_h^{h+\sin(h)}f(x)\,dx}{h^2}&=\lim_{h\to0}\frac{\frac{(h+\sin(h))^3-h^3}3+\frac c2((h+\sin(h))^2-h^2)+d\sin(h)}{h^2}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\frac c2((h+\sin(h))^2-h^2)+d\sin(h)}{h^2}\\&=3\end{aligned}$를 얻고, 이로부터 $\displaystyle \frac{3c}2=3$, $\displaystyle d=0$을 유도한다. 따라서, 구하는 $\displaystyle f(x)=x^2+2x$이다.

1-2) 두 점 $\displaystyle (\alpha,f(\alpha))$, $\displaystyle (\beta,f(\beta))$를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle \begin{aligned}y=k(x)&=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)\\&=(\beta+\alpha+2)(x-\alpha)+\alpha^2+2\alpha\\&=(\beta+\alpha+2)x-\alpha\beta\end{aligned}$이다. 따라서 조건 (나)를 활용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_\alpha^\beta(k(x)-f(x))\,dx&=\int_\alpha^\beta((\beta+\alpha)x-\alpha\beta-x^2)\,dx\\&=\frac{(\beta-\alpha)^3}6\\&=1\end{aligned}$로부터 $\displaystyle \beta-\alpha=1$을 얻는다.Correction. 위 정적분의 값 $\displaystyle 1$은 $\displaystyle \frac16$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.조건 (다)로부터 두 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 포물선 $\displaystyle y=h(x)=-(x-a)^2+b$가 두 점 $\displaystyle (\alpha,f(\alpha))$, $\displaystyle (\beta,f(\beta))$를 지나므로 $\displaystyle \alpha,\beta$는$\displaystyle f(x)-h(x)=2x^2+2x(1-a)+a^2-b=0$의 두 근이다. 따라서, 근과 계수의 관계로부터$\displaystyle \alpha+\beta=a-1,\quad\alpha\beta=\frac{a^2-b}2,$얻고 $\displaystyle \beta=\alpha+1$을 대입하여 정리하면 $\displaystyle b=\frac{a^2+2a}2$를 얻는다.