자연계열 4번

4-1) 부품 A가 정상일 사건을 $\displaystyle A$, 부품 B가 정상일 사건을 $\displaystyle B$, 부품 C가 정상일 사건을 $\displaystyle C$라 하자.■ 회로가 작동할 사건은 $\displaystyle (A\cap C)\cup(A^c\cap B\cap C)$이고 $\displaystyle (A\cap C)$와 $\displaystyle (A^c\cap B\cap C)$는 배반사건이므로 회로가 작동할 확률은$\displaystyle \begin{aligned}P((A\cap C)\cup(A^c\cap B\cap C))&=P(A\cap C)+P(A^c\cap B\cap C)\\&=\frac45\times\frac9{10}+\frac15\times\frac34\times\frac9{10}\\&=\frac{171}{200}\end{aligned}$이다. 따라서 회로가 작동하지 않을 확률은 $\displaystyle \frac{29}{200}$이다.■ 부품 A가 불량품이고 회로가 작동하지 않을 사건은 $\displaystyle A^c-(A^c\cap B\cap C)$이고 사건 $\displaystyle A^c$가 사건 $\displaystyle A^c\cap B\cap C$를 포함하므로 부품 A가 불량품이고 회로가 작동하지 않을 확률은$\displaystyle \begin{aligned}P(A^c-(A^c\cap B\cap C))&=P(A^c)-P(A^c\cap B\cap C)\\&=\frac15-\frac15\times\frac34\times\frac9{10}\\&=\frac{13}{200}\end{aligned}$이다.■ 따라서 회로가 작동하지 않았다면 부품 A가 불량품일 확률은$\displaystyle \begin{aligned}P(A\text{가 불량품}|\text{회로 작동안함})&=\frac{P(A\text{가 불량품이고 회로 작동안함})}{P(\text{회로 작동안함})}\\&=\frac{\frac{13}{200}}{\frac{29}{200}}\\&=\frac{13}{29}\end{aligned}$이다.