자연계열 2번

2-1) 조건 (i)-(iii)으로부터$\displaystyle g(x)=(3a^2-1)x-2a^3-a$이다. $\displaystyle k(x)=f(x)-g(x)$라 하면$\displaystyle k(x)=x^3-3a^2x+2a^3+a$이다. $\displaystyle a=0$일 때와 $\displaystyle a\ne0$인 경우로 나누어 생각해 보면, $\displaystyle a=0$일 때는 $\displaystyle k(x)=x^3$이므로 $\displaystyle k(x)=0$은 하나의 실근을 갖는다. 따라서, $\displaystyle a=0$일 때 두 그래프 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$는 한 점에서 만난다.이제 $\displaystyle a\ne0$이라 하자. $\displaystyle k(x)$를 미분하면 $\displaystyle k^{\prime}(x)=3x^2-3a^2$이다. 따라서 $\displaystyle a\ne0$일 때, $\displaystyle k(x)$는 $\displaystyle x=|a|$에서 극솟값, $\displaystyle x=-|a|$에서 극댓값을 갖는다.■ $\displaystyle a>0$인 경우:$\displaystyle k(x)$의 극솟값은 $\displaystyle x=a$일 때 $\displaystyle k(a)=a^3-3a^3+2a^3+a=a>0$이다.■ $\displaystyle a<0$인 경우:$\displaystyle k(x)$의 극댓값은 $\displaystyle x=a$일 때 $\displaystyle k(a)=a^3-3a^3+2a^3+a=a<0$이다.두 경우 모두 $\displaystyle y=k(x)$는 $\displaystyle x$축과 한 점에서 만난다. 따라서 $\displaystyle a\ne0$인 경우에도 두 그래프 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$는 한 점에서 만난다.

2-2) $\displaystyle k(x)=f(x)-g(x)$라 하면, $\displaystyle k(x)=x^3-3a^2x+2a^3+a$이다.■ $\displaystyle a>0$인 경우:$\displaystyle k(-a)=4a^3+a>0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}k(x)=-\infty$이므로 $\displaystyle y=k(x)$는 $\displaystyle (-\infty,-a)$에서 $\displaystyle x$축과 만난다. 따라서, $\displaystyle h(a)<-a$이다.■ $\displaystyle a<0$인 경우:$\displaystyle k(-a)=4a^3+a<0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}k(x)=\infty$이므로 $\displaystyle y=k(x)$는 $\displaystyle (-a,\infty)$에서 $\displaystyle x$축과 만난다. 따라서, $\displaystyle h(a)>-a$이다. 따라서, $\displaystyle a\ne0$일 때, $\displaystyle -ah(a)>a^2$이다.

2-3) $\displaystyle k(x)=f(x)-g(x)$라 하면, $\displaystyle k(x)=x^3-3a^2x+2a^3+a$이다. $\displaystyle h(a)$는 $\displaystyle k(x)=0$의 해이므로 $\displaystyle h(a)$는$\displaystyle (h(a))^3-3a^2h(a)+2a^3+a=0$을 만족한다. 따라서$\displaystyle \left(\frac{h(a)}a\right)^3-3\left(\frac{h(a)}a\right)+2+\frac1{a^2}=0$이다. 이 식에 $\displaystyle a\to\infty$를 양변에 취하고 $\displaystyle X=\lim_{a\to\infty}\frac{h(a)}a$라 놓으면$\displaystyle X^3-3X+2=(X-1)^2(X+2)=0$을 얻는다. 문제 2-2)에 의해 $\displaystyle X=\lim_{a\to\infty}\frac{h(a)}a\le-1$이므로 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{h(a)}a=-2$이다.