자연계열 3번

+15점 · 주어진 문제를 적절히 해석하여 (예로, 주어진 문제는 “평면 위에 두 점과 한 직선이 있을 때, 한 점에서 직선을 거쳐 다른 한점으로 가는 최단 거리를 물어보는 문제”로 해석할 수 있음) 답을 구하고, 그 과정이 논리적이면 좋은 점수를 부여함

3-1) 점 A를 지나고 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}_1}$에 평행인 직선을 $\displaystyle L$이라 하고, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}_3}$를 직선 $\displaystyle L$에 대하여 대칭 이동한 벡터를 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}_3^{\prime}}$이라 하면 $\displaystyle \left(\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}_2}-t\overrightarrow{\mathrm{AB}_1}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}_3}-t\overrightarrow{\mathrm{AB}_1}\right|\right)^2$의 최솟값은 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{AB}_2}-\overrightarrow{\mathrm{AB}_3^{\prime}}\right|^2$이다.

두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}_1}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}_2}$가 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi8$, 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}_2}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}_3}$가 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi8$이다. 이때$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}_2}|=2\sin\frac\pi4=2\cos\frac\pi4=\sqrt2,\quad|\overrightarrow{\mathrm{AB}_3}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}_3^{\prime}}|=2\sin\frac{3\pi}8=2\cos\frac\pi8$이고, 반각공식으로부터$\displaystyle \left(\sin\frac\pi8\right)^2=\frac{1-\cos\frac\pi4}2=\frac12-\frac1{2\sqrt2},\quad\left(\cos\frac\pi8\right)^2=\frac{1+\cos\frac\pi4}2=\frac12+\frac1{2\sqrt2}$를 얻는다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{AB}_2}-\overrightarrow{\mathrm{AB}_3^{\prime}}|^2&=|\overrightarrow{\mathrm{AB}_2}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AB}_3^{\prime}}|^2-2|\overrightarrow{\mathrm{AB}_2}||\overrightarrow{\mathrm{AB}_3^{\prime}}|\cos\frac{3\pi}8\\&=2+(2+\sqrt2)-2(\sqrt2)\left(2\sin\frac{3\pi}8\right)\cos\frac{3\pi}8\\&=2+(2+\sqrt2)-2\sqrt2\left(\sin\frac{3\pi}4\right)\\&=2+\sqrt2\end{aligned}$이다.