자연계열 1번

+10점 · 주어진 $\displaystyle b\le c$에 대해 함수 $\displaystyle f(x)$를 정확히 구하고, 함수 $\displaystyle f(x)$가 세 점에서 미분불가능이 되도록 하는 $\displaystyle b$와 $\displaystyle c$의 관계가 $\displaystyle b=c$임을 보이고, 그 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

1-1)$\displaystyle \sigma(g(x))=\begin{cases}1&(x\ge b)\\x-b+1&(b-1\le x<b)\\0&(x<b-1)\end{cases},\quad\sigma(h(x))=\begin{cases}0&(x\ge c+2)\\-x+c+2&(c\le x<c+2)\\2&(x<c)\end{cases},$$\displaystyle f(x)=\begin{cases}1&(x\ge c+2)\\-x+c+3&(c\le x<c+2)\\3&(b\le x<c)\\x-b+3&(b-1\le x<b)\\2&(x<b-1)\end{cases}$따라서 $\displaystyle b=c$일 때 세 점에서만 미분불가능하다.

+15점 · 주어진 두 실수 $\displaystyle a,\ b$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$를 정확히 구한다. 좌미분과 우미분을 통해 함수 $\displaystyle f(x)$가 두 점에서만 미분가능하고, $\displaystyle f(0)>0$이 되는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$를 정확히 구한다. 그 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

Correction. 채점기준의 “미분가능하고”는 “미분불가능하고”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

1-2) $\displaystyle h(x)=\sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1$라 두면 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}0&(x\ge2)\\-x+2&(1\le x<2)\\1&(-1\le x<1)\\x+2&(-2\le x<-1)\\0&(x<-2)\end{cases}$이고,

$\displaystyle f$의 미분가능한 점에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-a)(x-b)h^{\prime}(x)+(2x-a-b)h(x)$이다. 즉,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}0&(x>2)\\(2x-a-b)(-x+2)+(x-a)(x-b)(-1)&(1<x<2)\\2x-a-b&(-1<x<1)\\(2x-a-b)(x+2)+(x-a)(x-b)&(-2<x<-1)\\0&(x<-2)\end{cases}$함수 $\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)h(x)$는 $\displaystyle x=-2,-1,1,2$, 네 점에서 미분불가능 할 수 있다.(1) $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=-2$에서의 좌미분은 $\displaystyle 0$, 우미분은 $\displaystyle (-2-a)(-2-b)$이므로, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-2$에서 미분가능할 조건은 : $\displaystyle a=-2$ 혹은 $\displaystyle b=-2$이다.(2) $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=-1$에서의 좌미분은 $\displaystyle (-2-a-b)+(-1-a)(-1-b)$, 우미분은 $\displaystyle -2-a-b$이므로, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-1$에서 미분가능할 조건은 : $\displaystyle a=-1$ 혹은 $\displaystyle b=-1$이다.(3) $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=1$에서의 좌미분은 $\displaystyle 2-a-b$, 우미분은 $\displaystyle 2-a-b-(1-a)(1-b)$이므로, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능할 조건 : $\displaystyle a=1$ 혹은 $\displaystyle b=1$이다.(4) $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=2$에서의 좌미분은 $\displaystyle -(2-a)(2-b)$, 우미분은 $\displaystyle 0$이므로, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 미분가능할 조건은 : $\displaystyle a=2$ 혹은 $\displaystyle b=2$이다.$\displaystyle f(x)$가 두 점에서만 미분 불가능하기 위해서는 $\displaystyle (a,b)$가 위의 (1), (2), (3), (4) 식 중에서 두 개만 만족해야 하고, 따라서 다음과 같아야 한다.$\displaystyle \begin{aligned}(a,b)={}&(1,-1),(1,-2),(1,2),(-1,1),(-1,-2),(-1,2),\\&(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(2,-2),(2,-1),(2,1).\end{aligned}$이 중에 $\displaystyle f(0)=ab>0$인 $\displaystyle (a,b)$는$\displaystyle (a,b)=(1,2),(-1,-2),(-2,-1),(2,1)$이다.