고려대 서울캠퍼스 2025학년도 모의 자연계열 1번 해설

다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

함수 $\displaystyle \sigma(x)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle \sigma(x)=\begin{cases}x&(x\ge0)\\0&(x<0)\end{cases}$

1-1) $\displaystyle b\le c$ 인 두 실수 $\displaystyle b,\ c$ 에 대하여 $\displaystyle g(x)=-\sigma(-x+b)+1$ , $\displaystyle h(x)=-\sigma(x-c)+2$ 라 하자. $\displaystyle f(x)=\sigma(g(x))+\sigma(h(x))$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 세 점에서만 미분불가능이 되도록 하는 $\displaystyle b$ 와 $\displaystyle c$ 의 관계를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

1-2) 함수 $\displaystyle g(x)=-\sigma(-x-1)+1$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)[\sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1]$ 이다. $\displaystyle f(x)$ 가 두 점에서만 미분불가능하고, $\displaystyle f(0)>0$ 인 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 를 모두 구하고, 그 이유를 설명하시오. (단 $\displaystyle a,\ b$ 는 실수이다.) (15점)

1-3) 함수 $\displaystyle g(x)=-\sigma(-x-1)+1$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(x)=\sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1$ 이다. 두 실수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 직선 $\displaystyle y=ax+b$ 가 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 세 점에서 만나기 위한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 가 평면에서 차지하는 영역의 면적을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

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+10점 · 주어진

\displaystyle b\le c

에 대해 함수

\displaystyle f(x)

를 정확히 구하고, 함수

\displaystyle f(x)

가 세 점에서 미분불가능이 되도록 하는

\displaystyle b

와

\displaystyle c

의 관계가

\displaystyle b=c

임을 보이고, 그 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

1-1) $\displaystyle \sigma(g(x))=\begin{cases}1&(x\ge b)\\x-b+1&(b-1\le x<b)\\0&(x<b-1)\end{cases},\quad\sigma(h(x))=\begin{cases}0&(x\ge c+2)\\-x+c+2&(c\le x<c+2)\\2&(x<c)\end{cases},$ $\displaystyle f(x)=\begin{cases}1&(x\ge c+2)\\-x+c+3&(c\le x<c+2)\\3&(b\le x<c)\\x-b+3&(b-1\le x<b)\\2&(x<b-1)\end{cases}$ 따라서 $\displaystyle b=c$ 일 때 세 점에서만 미분불가능하다.

+15점 · 주어진 두 실수

\displaystyle a,\ b

에 대하여 함수

\displaystyle f(x)

를 정확히 구한다. 좌미분과 우미분을 통해 함수

\displaystyle f(x)

가 두 점에서만 미분가능하고,

\displaystyle f(0)>0

이 되는 순서쌍

\displaystyle (a,b)

를 정확히 구한다. 그 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

Correction. 채점기준의 “미분가능하고”는 “미분불가능하고”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

1-2) $\displaystyle h(x)=\sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1$ 라 두면 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}0&(x\ge2)\\-x+2&(1\le x<2)\\1&(-1\le x<1)\\x+2&(-2\le x<-1)\\0&(x<-2)\end{cases}$ 이고,

$\displaystyle f$ 의 미분가능한 점에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-a)(x-b)h^{\prime}(x)+(2x-a-b)h(x)$ 이다. 즉, $\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}0&(x>2)\\(2x-a-b)(-x+2)+(x-a)(x-b)(-1)&(1<x<2)\\2x-a-b&(-1<x<1)\\(2x-a-b)(x+2)+(x-a)(x-b)&(-2<x<-1)\\0&(x<-2)\end{cases}$ 함수 $\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)h(x)$ 는 $\displaystyle x=-2,-1,1,2$ , 네 점에서 미분불가능 할 수 있다.(1) $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=-2$ 에서의 좌미분은 $\displaystyle 0$ , 우미분은 $\displaystyle (-2-a)(-2-b)$ 이므로, $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=-2$ 에서 미분가능할 조건은 : $\displaystyle a=-2$ 혹은 $\displaystyle b=-2$ 이다.(2) $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=-1$ 에서의 좌미분은 $\displaystyle (-2-a-b)+(-1-a)(-1-b)$ , 우미분은 $\displaystyle -2-a-b$ 이므로, $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=-1$ 에서 미분가능할 조건은 : $\displaystyle a=-1$ 혹은 $\displaystyle b=-1$ 이다.(3) $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=1$ 에서의 좌미분은 $\displaystyle 2-a-b$ , 우미분은 $\displaystyle 2-a-b-(1-a)(1-b)$ 이므로, $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능할 조건 : $\displaystyle a=1$ 혹은 $\displaystyle b=1$ 이다.(4) $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=2$ 에서의 좌미분은 $\displaystyle -(2-a)(2-b)$ , 우미분은 $\displaystyle 0$ 이므로, $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=2$ 에서 미분가능할 조건은 : $\displaystyle a=2$ 혹은 $\displaystyle b=2$ 이다. $\displaystyle f(x)$ 가 두 점에서만 미분 불가능하기 위해서는 $\displaystyle (a,b)$ 가 위의 (1), (2), (3), (4) 식 중에서 두 개만 만족해야 하고, 따라서 다음과 같아야 한다. $\displaystyle \begin{aligned}(a,b)={}&(1,-1),(1,-2),(1,2),(-1,1),(-1,-2),(-1,2),\\&(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(2,-2),(2,-1),(2,1).\end{aligned}$ 이 중에 $\displaystyle f(0)=ab>0$ 인 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle (a,b)=(1,2),(-1,-2),(-2,-1),(2,1)$ 이다.

+10점 · 주어진 함수

\displaystyle f(x)

를 정확히 구하고, 두 실수

\displaystyle a,\ b

에 대하여 직선

\displaystyle y=ax+b

가

\displaystyle y=f(x)

의 그래프와 세 점에서 만나기 위한 순서쌍

\displaystyle (a,b)

가 평면에서 차지하는 영역을 찾고 그 면적을 구하면 좋은 점수를 부여함

1-3) $\displaystyle h(x)=f(x)-ax-b$ 라고 하면, $\displaystyle h(x)=\begin{cases}-ax-b&(x\ge2)\\-(a+1)x+2-b&(1\le x<2)\\-ax-b+1&(-1\le x<1)\\(1-a)x+2-b&(-2\le x<-1)\\-ax-b&(x<-2)\end{cases}$ 이고, $\displaystyle h(x)$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 세 점에서 만나면 된다.▶우선 $\displaystyle a=0$ 인 경우, $\displaystyle x$ 축과 두 번 만나거나 무한히 많은 점에서 만남으로 $\displaystyle a>0$ 혹은 $\displaystyle a<0$ 이어야 한다.Caution. 경우를 나눌 때는 빠진 경우가 없는지 확인하고, 개수를 셀 때는 같은 대상을 중복하여 세지 않아야 한다: 예시답안은 $\displaystyle a=0$ 일 때 교점이 두 개이거나 무한히 많다고 설명하지만, 교점이 없는 경우도 있다. $\displaystyle f$ 의 치역은 $\displaystyle [0,1]$ 이므로 $\displaystyle b<0$ 또는 $\displaystyle b>1$ 이면 교점이 없고, $\displaystyle 0<b<1$ 이면 두 개, $\displaystyle b=0$ 또는 $\displaystyle b=1$ 이면 무한히 많다. 어느 경우에도 세 개가 아니므로 $\displaystyle a=0$ 을 제외하는 결론과 최종 넓이 $\displaystyle 1$ 은 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.▶ $\displaystyle a>0$ 인 경우, 구간 $\displaystyle x<-2$ 그리고 $\displaystyle x>-1$ 에서 $\displaystyle h(x)$ 는 감소함으로, $\displaystyle h(x)$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 세 번 만나기 위해서는, $\displaystyle h(-2)<0$ , $\displaystyle h(-1)>0$ 이어야 한다. 즉, $\displaystyle b<a+1$ , $\displaystyle b>2a$ 이어야 한다.▶ $\displaystyle a<0$ 인 경우, 구간 $\displaystyle x<1$ 그리고 $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle h(x)$ 는 증가함으로, $\displaystyle h(x)$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 세 번 만나기 위해서는, $\displaystyle h(1)>0$ , $\displaystyle h(2)<0$ 이어야 한다. 즉, $\displaystyle b<-a+1$ , $\displaystyle b>-2a$ 이어야 한다. 따라서, $\displaystyle (a,b)$ 가 차지하는 영역의 면적은 $\displaystyle 1$ 이다.

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