고려대 서울캠퍼스 2025학년도 모의 자연계열 3번 해설

다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

그림과 같이 반경이 $\displaystyle 1$ 인 원 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_1}=\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2}=\overline{\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3}=\cdots=\overline{\mathrm{B}_{n-1}\mathrm{B}_n}=\overline{\mathrm{B}_n\mathrm A}$ 를 만족시키는 $\displaystyle n$ 개의 점 $\displaystyle \mathrm{B}_1,\mathrm{B}_2,\cdots,\mathrm{B}_n$ 이 순서대로 놓여있다. 벡터 $\displaystyle \vec b_i=\overrightarrow{\mathrm{AB}_i}\ (1\le i\le n)$ 라 하자.

3-1) $\displaystyle n=7$ 일 때, 내적 $\displaystyle \vec b_2\cdot\vec b_5$ 의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (6점)

3-2) 다음 극한값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (9점) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\vec b_1\cdot\left(\sum_{i=1}^n\vec b_i\right)$

고려대 서울캠퍼스 2025학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2025mo/jayeon_3

+6점 · 내적의 정의를 활용하여 주어진 조건에 해당하는 두 벡터의 내적을 정확히 구하고, 그 과정이 논리적이면 좋은 점수를 부여함

3-1) $\displaystyle |\vec b_i|=2\sin\frac{\pi i}{n+1}$ 이고 두 벡터 $\displaystyle \vec b_i,\ \vec b_j$ 의 사이각은 $\displaystyle \left|\frac{\pi(i-j)}{n+1}\right|$ 이다. 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\vec b_i\cdot\vec b_j&=\left(2\sin\frac{\pi}{n+1}i\right)\left(2\sin\frac{\pi}{n+1}j\right)\cos\frac{\pi}{n+1}(i-j)\\&=\left(2\sin\frac{\pi}{n+1}i\right)\left(2\sin\frac{\pi}{n+1}j\right)\left(\cos\frac{\pi}{n+1}i\cos\frac{\pi}{n+1}j+\sin\frac{\pi}{n+1}i\sin\frac{\pi}{n+1}j\right)\end{aligned}$ 이다. 따라서, $\displaystyle n=7$ 일 때, $\displaystyle \begin{aligned}\vec b_2\cdot\vec b_5&=\left(2\sin\frac\pi4\right)\left(2\sin\frac{5\pi}8\right)\cos\frac{3\pi}8\\&=\left(2\sin\frac\pi4\right)\left(2\cos\frac\pi8\right)\sin\frac\pi8\\&=\left(2\sin\frac\pi4\right)\sin\frac\pi4\\&=1\end{aligned}$ 을 얻는다.

+9점 · 조건에 맞는 각 벡터를 구하고, 내적의 정의를 활용하여 주어진 조건에 해당하는 두 벡터의 내적을 정확히 구한다. 정적분과 급수 사이의 관계 등을 이용하여 주어진 급수의 값을 구한다. 그 과정이 논리적이면 좋은 점수를 부여함

3-2) 3-1)에서 얻어진 공식 $\displaystyle \vec b_1\cdot\vec b_i=\left(2\sin\frac{\pi}{n+1}\right)\left(2\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)\left(\cos\frac{\pi}{n+1}\cos\frac{\pi i}{n+1}+\sin\frac{\pi}{n+1}\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)$ 로 부터 $\displaystyle \vec b_1\cdot\left(\sum_{i=1}^n\vec b_i\right)=\left(\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1}\right)+4\left(\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2\left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2\right)$ 을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\vec b_1\cdot\left(\sum_{i=1}^n\vec b_i\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1}\right)+4\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2\left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2\right)$ 이다. 여기서, $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1}\right)&=\left(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac{2\pi}{n+1}}{\frac1{n+1}}\right)\right)\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{2\pi i}{n+1}\right)\frac1{n+1}\right)\\&=2\pi\int_0^1\sin2\pi x\,dx=0\end{aligned}$ 이다. 또한 $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2\left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2\right)\le n\left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2$ 로 부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^n\left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2\left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2\right)=0$ 을 얻는다. 따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\vec b_1\cdot\left(\sum_{i=1}^n\vec b_i\right)=0$ 이다.

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자연계열 3번

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