자연계열 4번

고려대 서울캠퍼스 2025학년도 모의 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2025mo/jayeon_4

다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

상금 당첨 행사에서 진홍색 공 $\displaystyle 4$ 개와 파란색 공 $\displaystyle 5$ 개가 들어 있는 상자가 준비되어 있다. 네 번의 공을 뽑을 기회가 주어진다. 뽑은 공은 다시 상자에 넣지 않는다.

4-1) 네 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑을 확률을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (6점)

4-2) 첫 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑는 경우 100만 원, 네 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑는 경우 200만 원의 상금을 준다. 상자에서 공을 네 번 뽑았을 때 얻게 되는 총상금액을 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 하자. 이때 $\displaystyle X$ 의 기댓값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (예를 들어, 첫 번째와 네 번째 기회 둘 다 진홍색 공을 뽑으면 상금은 300만 원이다.) (9점)

해설강의 준비중

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+6점 · 확률의 개념을 정확히 이해하고, 주어진 확률을 정확히 구하면 좋은 점수를 부여함

4-1) $\displaystyle \frac{\text{네 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다. $\displaystyle \frac{8\times7\times6\times4}{9\times8\times7\times6}=\frac49$

+9점 · 이산확률변수의 기대값(평균)을 구하는 문제임. 답을 구하는 과정이 논리적이면 좋은 점수를 부여함

4-2) $\displaystyle \mathrm{E}[X]=100\mathrm{P}(X=100)+200\mathrm{P}(X=200)+300\mathrm{P}(X=300)$ , 여기서 $\displaystyle \mathrm{P}\{X=100\}=\mathrm{P}\{\text{첫번째 진홍색공, 네번째 파란색공}\}=\frac{4\times7\times6\times5}{9\times8\times7\times6}=\frac{20}{72}$ , $\displaystyle \mathrm{P}\{X=200\}=\mathrm{P}\{\text{첫번째 파란색공, 네번째 진홍색공}\}=\frac{5\times7\times6\times4}{9\times8\times7\times6}=\frac{20}{72}$ , $\displaystyle \mathrm{P}\{X=300\}=\mathrm{P}\{\text{첫번째 진홍색공, 네번째 진홍색공}\}=\frac{4\times7\times6\times3}{9\times8\times7\times6}=\frac{12}{72}$ .따라서, $\displaystyle \mathrm{E}[X]=100\frac{20}{72}+200\frac{20}{72}+300\frac{12}{72}=\frac{400}3$ .

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