자연계열 2번

2-1) 변곡점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \alpha$라고 하면, $\displaystyle f^{\prime\prime}(\alpha)=6\alpha+2p=0$이므로 $\displaystyle \alpha=-\frac p3$이다. 변곡점 $\displaystyle (\alpha,f(\alpha))$에서의 접선이 $\displaystyle y=-x$이므로 $\displaystyle f(\alpha)=-\alpha$와 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=-1$을 만족한다. 즉,$\displaystyle f(\alpha)=-\frac{p^3}{27}+p\times\frac{p^2}9+q\times\left(-\frac p3\right)+r=\frac p3$ 이고$\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=3\times\frac{p^2}9+2p\times\left(-\frac p3\right)+q=-1$이다.따라서, $\displaystyle 2p^3-9pq+27r=9p$이고 $\displaystyle -p^2+3q=-3$이다.두 번째 식에서, $\displaystyle p^2=3(q+1)$이므로 $\displaystyle p=3k$ ($\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$이 아닌 정수)라고 놓을 수 있다. 그러면, $\displaystyle q=3k^2-1$이 성립한다. 이제 첫 번째 식에서, $\displaystyle 54k^3-27k(3k^2-1)+27r=27k$가 얻어지므로, $\displaystyle r=k^3$이다.따라서, $\displaystyle (p,q,r)=(3k,3k^2-1,k^3)$인 $\displaystyle 0$이 아닌 정수 $\displaystyle k$가 존재한다.$\displaystyle pqr=3k^4(3k^2-1)$이므로 $\displaystyle k=\pm1$일 때 $\displaystyle pqr=6$을 최솟값으로 가진다. 이때, $\displaystyle (p,q,r)=(3,2,1)$과 $\displaystyle (p,q,r)=(-3,2,-1)$이므로$\displaystyle f(x)=x^3+3x^2+2x+1$과 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2x-1$이 답이다.

2-2) $\displaystyle \lim_{p\to\infty}\frac{pq}r=\lim_{k\to\infty}\frac{3k\times(3k^2-1)}{k^3}=9$

2-3) 자연수 $\displaystyle k$가 있어서, $\displaystyle f(x)=x^3+3kx^2+(3k^2-1)x+k^3$이다.$\displaystyle (-3,0)$을 지나고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 접하는 직선이 곡선에 접하는 점을 $\displaystyle (t,f(t))$라고 놓자. 그러면, 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$이고 $\displaystyle -f(t)=f^{\prime}(t)(-3-t)$를 만족한다. 따라서,$\displaystyle g(t)=(t+3)f^{\prime}(t)-f(t)=2t^3+(3k+9)t^2+18kt+(9k^2-3-k^3)$가 $\displaystyle 0$이 되는 서로 다른 실수 $\displaystyle t$가 세 개 존재하는 조건을 찾으면 된다.$\displaystyle g^{\prime}(t)=6t^2+(6k+18)t+18k=6(t+3)(t+k)$이므로 $\displaystyle g(-3)$과 $\displaystyle g(-k)$의 부호가 다르면 된다.$\displaystyle g(-3)=-(k^3-9k^2+27k-24)=-(k-3)^3-3$는 $\displaystyle k=1$이면 양수이고 $\displaystyle k\ge2$이면 음수이다. $\displaystyle g(-k)=-2k^3+(3k+9)k^2-18k^2+(9k^2-3-k^3)=-3$이므로 항상 음수이다.따라서, $\displaystyle k=1$이고 $\displaystyle p=3k=3$이다.