자연계열 1번

[1] $\displaystyle A^{2} - (a+d ) A + (ad-bc) E = O$이다. $\displaystyle A \in C( \mathbb{Z})$이므로 $\displaystyle A^{2} = E$이고 $\displaystyle ad-bc =1$이므로 $\displaystyle (a+d) A = (ad - bc +1 )E = 2E$이다. 그런데 $\displaystyle (a+d ) A = \begin{pmatrix} (a+d)a&~(a+d)b \\ (a+d)c& ~(a+d)d\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle 2E = \begin{pmatrix} 2& 0\\ 0& 2\end{pmatrix}$이므로

$\displaystyle (a+d)b=0$이고 $\displaystyle (a+d)c=0$이다.

만일 $\displaystyle b\ne 0$이라면 $\displaystyle a+d = 0$이므로 $\displaystyle O=(a+d)A = 2E$이다. 이는 모순이므로 $\displaystyle b=0$이다.

만일 $\displaystyle c \ne 0$이라면 $\displaystyle a+d = 0$이므로 $\displaystyle O=(a+d)A = 2E$이다. 이는 모순이므로 $\displaystyle c=0$이다.

따라서 $\displaystyle A= \begin{pmatrix} a&0 \\ 0 &d \end{pmatrix}$이고 $\displaystyle A^{2} = \begin{pmatrix} a^{2}&~0 \\ 0 &~d^{2} \end{pmatrix} = E$ 이므로 $\displaystyle a^{2} = 1, d^{2} = 1$이다. 그러므로 $\displaystyle a = \pm 1 , ~ d = \pm 1$이다. 그런데 $\displaystyle ad = bc +1$이므로 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1&~0 \\ 0 &~1 \end{pmatrix}$또는 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -1&~0 \\ 0 &~-1 \end{pmatrix}$이다.

[2] $\displaystyle f(0) = f(0) + f( 0)$이므로 $\displaystyle f(0) = 0$이다.

또한 $\displaystyle f(0) = f( x^{2} + (-x^{2} ) ) = f( x^{2} ) + f( - x^{2} )$이므로 $\displaystyle f( -x^{2} ) = - f(x^{2} )$이다.

그러므로

$\displaystyle f( x^{2} ) < f( 4x-3 ) ~\Leftrightarrow~ f( -x^{2} + 4x -3) >0 ~\Leftrightarrow~-x^{2} + 4x - 3>0 ~\Leftrightarrow~1<x<3$

이다. 따라서 $\displaystyle W= \left\{ x \in \mathbb{Z} | f(x^{2} ) < f(4x -3) \right\} = \left\{ x \in \mathbb{Z} | 1<x<3 \right\} = \left\{ 2 \right\}$이므로

원소의 개수는 1이다.

[3] $\displaystyle g(0) = g(0) + g(0)$이므로 $\displaystyle g(0) = 0$이다. 또한, $\displaystyle g(1) = g(1) g(1)$이므로 $\displaystyle g(1) = 0$또는 $\displaystyle g(1 ) =1$이다. 그런데 $\displaystyle g$는 일대일 함수이므로 $\displaystyle g(1) = 1$이고 $\displaystyle g(3 ) = g(1) + g(1) + g(1) = 3$이다.

또한 $\displaystyle 3 = g(3) = g( \sqrt3 \sqrt3 ) = \left\{ g( \sqrt3 ) \right\}^{2}$이므로 $\displaystyle g( \sqrt3 ) = \pm \sqrt3$이다.

그런데 $\displaystyle g(\sqrt3)=g(\sqrt[4]3\sqrt[4]3)=\{g(\sqrt[4]3)\}^2\ge0$이므로 $\displaystyle g(\sqrt3)=\sqrt3$이다.

[4] (1)

(ⅰ) $\displaystyle m=0$이면 $\displaystyle g(0) = g( 0) + g( 0)$이므로 $\displaystyle g(0) = 0$이다. 따라서 $\displaystyle g(0) = 0 = 0 g(1)$이다.

(ⅱ) $\displaystyle m>0$이면 $\displaystyle g(m) = g(1+1+\cdots +1) = g(1) + g(1) + \cdots +g(1) = mg(1)$이다.

(ⅲ) $\displaystyle m<0$이면 $\displaystyle g(m) = g((-m)(-1))=g(-1) + g(-1) + \cdots + g(-1) = (-m) g(-1)$이다.

그런데 $\displaystyle 0 = g(0) = g(1+ (-1)) = g(1) + g(-1)$이므로 $\displaystyle g(-1) = - g(1)$이고

$\displaystyle g(m) = (-m) g(-1) = - (-m) g(1) = mg(1)$이다.

그러므로 모든 $\displaystyle m \in \mathbb{Z}$에 대하여 $\displaystyle g(m) = m g(1)$이 성립한다.

(2) $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle h^{1} (A) = h(A) = \begin{pmatrix} a &~g(b) \\ c&~g(d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a &~bg(1) \\ c&~dg(1) \end{pmatrix}$이므로 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때 성립한다고 가정하자. 즉, $\displaystyle h^k (A) = \begin{pmatrix} a &~b \left\{g(1) \right\}^k \\ c&~d \left\{g(1) \right\}^k \end{pmatrix}$라 가정하자.

그러면 $\displaystyle h ^{k+1} (A)=(h \circ h ^{k} )(A)=h \begin{pmatrix} a &~b \left\{g(1) \right\}^k \\ c&~d \left\{g(1) \right\}^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a &~g(b \left\{g(1) \right\}^k ) \\ c&~g(d \left\{g(1) \right\}^k ) \end{pmatrix}$

$\displaystyle = \begin{pmatrix} a &~b \left\{g(1) \right\}^k g(1) \\ c&~d \left\{g(1) \right\}^k g(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a &~b \left\{g(1) \right\}^{k+1} \\ c&~d \left\{g(1) \right\}^{k+1} \end{pmatrix}$이다.

즉 $\displaystyle n= k+1$인 경우에도 성립하므로 수학적 귀납법에 의하여 주어진 식이 증명된다.

(3) $\displaystyle g(1) =0$이면 모든 $\displaystyle m \in \mathbb{Z}$에 대하여 $\displaystyle g(m) = mg(1) = 0$이므로 가정에 모순이다. 즉, $\displaystyle g(1) \ne 0$이다.

따라서 $\displaystyle ad \left\{ g(1) \right\} ^n - bc \left\{ g(1) \right\} ^n \ne 0$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle ad-bc \ne 0$이다. 그런데 $\displaystyle h^n (A)$의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건이 $\displaystyle ad \left\{ g(1) \right\}^n - bc \left\{ g(1) \right\} ^n \ne 0$이고 $\displaystyle A$의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건이 $\displaystyle ad - bc \ne 0$이므로 $\displaystyle h^n (A) \in T(\mathbb{Q})$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle A \in T(\mathbb{Q})$이다.Correction. 답안 마지막의 $\displaystyle T(\mathbb Q)$는 문제에서 다룬 $\displaystyle T(\mathbb Z)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.