자연계열 2번

[1] 주어진 $\displaystyle x, y~$를 제곱하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle x^{2} = 9 \cos ^{4} t, ~y^{2} = 9 \sin ^{2} t \cos ^{2} t$

(또는 $\displaystyle y^{2} = 9 \sin ^{2} t \cos ^{2} t = 3 \sin ^{2} t 3 \cos ^{2} t$)

이때 $\displaystyle \cos ^{2} t + \sin ^{2} t =1$이고, $\displaystyle x= 3 \cos ^{2} t$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle x^{2} + y^{2} = 9 \cos ^{2} t (\cos ^{2} t + \sin ^{2} t ) = 3x$

(또는 $\displaystyle y^{2} = 3(1- \cos ^{2} t ) x = 3x - x^{2}$)

이를 정리하면 다음과 같다.

$\displaystyle \left ( x- \frac{3}{2} \right )^{2} + y^{2} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{2}$또는 $\displaystyle x^{2} + y^{2} = 3x$

따라서 구하는 관계식은 중심이 $\displaystyle \left (\frac{3}{2}, 0 \right )$이고, 반지름이 $\displaystyle \frac{3}{2}$인 원을 나타낸다.

[2] 먼저 두 벡터를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \left ( \cos t + \cos ^{2} t , \sin t + \frac{1}{2} \sin 2t \right ) = (\cos t + \cos ^{2} t , \sin t + \sin t \cos t )$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}} ~=~(3 \cos ^{2} t, 3 \cos tsint )$

두 벡터가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라고 하자. 벡터의 내적에 의해 다음이 성립한다.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} ~=| \overrightarrow{\mathrm{OP}} |~|\overrightarrow{\mathrm{OQ}} | \cos \theta$

그런데 삼각함수의 성질을 이용하여 정리하면

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} ~=~3 \cos ^{3} t+ 3 \cos ^{4} t + 3 \cos tsin^{2} t + 3 \cos ^{2} t \sin ^{2} t$

$\displaystyle = 3 \cos t ( \cos ^{2} t + \sin ^{2} t ) + 3 \cos ^{2} t ( \cos ^{2} t + \sin ^{2} t )$

$\displaystyle =3 \cos t + 3 \cos ^{2} t$

$\displaystyle = 3 \cos t (1 + \cos t )$

$\displaystyle | \overrightarrow{\mathrm{OP}} | = \sqrt { \cos ^{2} t + 2 \cos ^{3} t + \cos ^{4} t +\sin ^{2} t + 2 \sin ^{2} t \cos t + \sin ^{2} t \cos ^{2} t}$

$\displaystyle =\sqrt {1+ 2 \cos ^{3} t + 2 \sin ^{2} t \cos t + \cos ^{4} t + \sin ^{2} t \cos ^{2} t }$

$\displaystyle =\sqrt {1+ 2 \cos t (\cos ^{2} t + \sin ^{2} t )+ \cos ^{2} t(\cos ^{2} t + \sin ^{2} t) }$

$\displaystyle = 1 + \cos t$

$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=\sqrt{9\cos^4t+9\cos^2t\sin^2t}$

$\displaystyle =\sqrt{9\cos^2t(\cos^2t+\sin^2t)}$

$\displaystyle = 3 |\cos t |$

이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = ~| \overrightarrow{\mathrm{OP}} | |\overrightarrow{\mathrm{OQ}} | \cos \theta$에서 다음을 얻는다.

$\displaystyle 3 \cos t (1+\cos t) = 3|\cos t| (1+\cos t) \cos \theta$

따라서 주어진 $\displaystyle t$에 대해 다음을 얻는다.

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\cos t}{|\cos t|} , ~~0<t<\pi , t\ne \frac{\pi}{2}$

그런데 $\displaystyle |\cos t|= \begin{cases} ~~\cos t, ~0<t< \frac{\pi}{2}\\ -\cos t, ~\frac{\pi}{2} < t< \pi \end{cases}$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle \cos \theta = \begin{cases} ~~1,~0<t< \frac{\pi}{2} \\ -1, ~ \frac{\pi}{2} < t < \pi \end{cases}$

이로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle \theta = \begin{cases} 0, ~0<t< \frac{\pi}{2}\\ \pi , ~\frac{\pi}{2} < t< \pi \end{cases}$

[3] (a) 두 곡선이 $\displaystyle t$일 때 만나면 두 점의 대응하는 성분이 같아야 하므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle \cos t + \cos ^{2} t = 3 \cos ^{2} t , ~~ \sin t + \cos t \sin t = 3 \cos t \sin t , ~~0 \le t \le \pi$

이를 정리하면 다음 연립 방정식을 얻는다.

$\displaystyle \cos t (1-2 \cos t) = 0, ~\sin t (1-2 \cos t ) =0,~0 \le t \le \pi$

따라서 $\displaystyle \cos t = \frac{1}{2} , t = \frac{\pi}{3}$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같다.

$\displaystyle \mathrm{C} \left ( \frac{3}{4} , \frac{3\sqrt 3 }{4} \right )$

(b) 원점과 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 잇는 직선의 기울기 $\displaystyle \alpha$는 다음과 같다.

$\displaystyle \alpha=\frac{\frac{3\sqrt3}{4}}{\frac34}=\sqrt3$

한편, $\displaystyle \tan \beta = \sqrt 3$이므로 $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{3}$이다.

[4] (a) 문항 [3]에서 $\displaystyle t_{0} = \frac{\pi}{3}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$에 대해 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \cos t + \cos 2t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0,$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -\sin t - 2 \sin t \cos t = - \frac{\sqrt 3}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \sqrt 3$

이로부터 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 만드는 곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에 대응하는 $\displaystyle t$에서 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{ \frac{ dy}{dt } }{ \frac{ dx}{ dt} } =0$

(b) 문항 [1]에서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 만드는 곡선은 다음과 같은 원임을 보였다.

$\displaystyle \left ( x- \frac{3}{2} \right )^{2} + y^{2} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{2}$또는 $\displaystyle x^{2} + y^{2} = 3x$

이로부터 음함수 미분법을 사용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=3$ 또는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3-2x}{2y}$

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C} \left ( \frac{3}{4} , \frac{3\sqrt 3}{4} \right )$에서 접선의 방정식의 기울기는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{ 3-2\cdot \frac{3}{4}}{ 2 \cdot \frac{3\sqrt 3}{4} } = \frac{\sqrt 3}{3}$

따라서 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle y- \frac{3\sqrt 3}{4} = \frac{\sqrt 3}{3} \left ( x- \frac{3}{4} \right )$ 또는 $\displaystyle y= \frac{\sqrt 3}{3} x + \frac{\sqrt 3}{2}$

[5] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에 대해

$\displaystyle \begin{cases} x^{\prime}(t) = -\sin t -2 \cos t \sin t = -\sin t - \sin 2t \\ y^{\prime}(t) = \cos t + \cos 2t \end{cases}$

이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle (x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2=\sin^2t+2\sin t\sin2t+\sin^22t+\cos^2t+2\cos t\cos2t+\cos^22t$

$\displaystyle =2+ 2 \left\{ \cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t \right\} = 2(1+ \cos t)$

$\displaystyle = 4 \cos ^{2} {\frac{t}{2}}$

따라서 구간 $\displaystyle 0 \le t \le s$에 대응하는 구하는 곡선의 길이 $\displaystyle D(s)$는 다음과 같다.

$\displaystyle D(s) = \int _{ 0} ^{s } { \sqrt {(x^{\prime}(t))^{2} +(y^{\prime}(t))^{2} } }dt = \int _{ 0} ^{ s} {2 \cos \frac{t}{2} }dt = \Biggl[ 4 \sin \frac{t}{2} \Biggr]_{0}^s =4 \sin \frac{s}{2}$

한편, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$에 대해

$\displaystyle \begin{cases} x^{\prime}(t) = -6 \cos t \sin t = -3 \sin 2t \\ y^{\prime}(t) =3 \cos 2t \end{cases}$

이므로 구간 $\displaystyle 0 \le t \le s$에 대응하는 곡선의 길이 $\displaystyle L(s)$는 다음과 같다.

$\displaystyle L(s) = \int _{ 0} ^{s } { \sqrt {\{x^{\prime}(t)\}^{2}+\{y^{\prime}(t)\}^{2} } }dt = \int _{ 0} ^{s } 3{ \sqrt {\sin ^{2} 2t+\cos ^{2} 2t } }dt =\Biggl[3t\Biggr]_{0}^s = 3s$

따라서 $\displaystyle \lim _{ x\to 0} { \frac{\sin x}{x} =1}$을 이용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \lim _{ s \to +0} { \frac{ D(s)}{L(s) } }=\lim _{ s \to +0} { \frac{ 4 \sin \frac{s}{2}}{3s } } =\lim _{ s \to +0} { \frac{ 4 \sin \frac{s}{2}}{6 \frac{s}{2} } } = \frac{2}{3}$