자연계열 1번

[1]

회전변환 $\displaystyle f$와 닮음변환 $\displaystyle g$를 나타내는 행렬을 각각 $\displaystyle A,~B$라 하면

합성변환 $\displaystyle h=g\circ f$를 나타내는 행렬은 $\displaystyle H=BA$로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} &~-\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4}& ~\cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & - \frac{1}{\sqrt 2} \\ \frac{1}{\sqrt 2} &\frac{1}{\sqrt 2} \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt 2} \end{pmatrix}$이므로

$\displaystyle H=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac12\\\frac12&\frac12\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$이다.

한편, 원점을 중심으로 각 $\displaystyle \theta$만큼 회전하는 회전변환의 행렬을 $\displaystyle F$, 닮음의 중심이 원점이고 닮음비가 $\displaystyle k$인 닮음변환의 행렬을 $\displaystyle G$라 하면

$\displaystyle F=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},~G=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle F^n=\begin{pmatrix}\cos n\theta&-\sin n\theta\\\sin n\theta&\cos n\theta\end{pmatrix},~G^n=\begin{pmatrix}k^n&0\\0&k^n\end{pmatrix}$이다.

따라서 변환 $\displaystyle h$를 $\displaystyle n$번 반복해서 수행한 변환 $\displaystyle h^n$을 나타내는 행렬은 $\displaystyle H^n=(BA)^n=B^nA^n$이므로

$\displaystyle H^n = B^n A^n ={\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt 2} \end{pmatrix}}^n { \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} &~-\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4}& ~\cos \frac{\pi}{4}\end{pmatrix} }^n$

$\displaystyle =\begin{pmatrix}(\frac1{\sqrt2})^n&0\\0&(\frac1{\sqrt2})^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\frac n4\pi&-\sin\frac n4\pi\\\sin\frac n4\pi&\cos\frac n4\pi\end{pmatrix}$

$\displaystyle = \left ( \frac{1}{\sqrt 2} \right )^n { \begin{pmatrix} \cos \frac{n}{4} \pi &~-\sin \frac{n}{4} \pi \\ \sin \frac{n}{4} \pi & ~\cos \frac{n}{4} \pi \end{pmatrix} }$이 된다.

[2] 역변환 $\displaystyle h^{-1}$의 행렬은 $\displaystyle H^{-1} = {\begin{pmatrix} \frac{1}{2} &- \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & ~~\frac{1}{2}\end{pmatrix} }^{-1} = \begin{pmatrix} ~1& ~1\\ -1& ~1\end{pmatrix}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}(1,1)$에 대하여 $\displaystyle h(\mathrm{Q})=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac12\\\frac12&\frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$이고, $\displaystyle h^{-1}(\mathrm{Q})=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$이므로

변환 $\displaystyle h$와 변환 $\displaystyle h^{-1}$에 의하여 옮겨진 두 점은 각각 $\displaystyle \mathrm{R}(0,1 ) ,~ \mathrm{S}(2,0 )$이 된다.

따라서, 평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$에 대하여 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}},~\overrightarrow{\mathrm{PS}}$를 구하면

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}} = \overrightarrow{\mathrm{OR}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}} = (-x, 1-y) ,~ \overrightarrow{\mathrm{PS}} = \overrightarrow{\mathrm{OS}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}} = (2-x, -y)$이다.

두 벡터의 내적 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PS}} = x(x-2) + y(y-1) = 0$이므로 $\displaystyle (x-1 )^{2} + \left ( y- \frac{1}{2} \right )^{2} = \frac{5}{4}$이 된다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 중심이 $\displaystyle \mathrm{C} \left ( 1, \frac{1}{2} \right )$이고 반지름이 $\displaystyle \frac{\sqrt 5}{2}$인 원으로 그 길이는 $\displaystyle \sqrt 5 \pi$이다.

[3]

변환 $\displaystyle h$는 원점 중심으로 $\displaystyle \frac\pi4$만큼 회전하면서 원점과의 거리가 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$의 비율로 줄어드는 합성변환이다.

변환 $\displaystyle h$에 의하여 옮겨진 서로 이웃한 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}$과 $\displaystyle \mathrm{P}_n$의 위치벡터를 각각 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_{n-1}},~\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$이라 하면

위치벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$의 크기는 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}|=\frac1{\sqrt2}|\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n-1}}|$이고,

두 위치벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_{n-1}}$의 사잇각은 $\displaystyle \frac\pi4$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_{n-1}\mathrm{P}_n$의 넓이 $\displaystyle S_n=\frac12|\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n-1}}||\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}|\sin\frac\pi4$이고,

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_n\mathrm{P}_{n+1}$의 넓이 $\displaystyle S_{n+1}=\frac12|\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}||\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n+1}}|\sin\frac\pi4$이므로

$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n+1}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n-1}}|}=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2=\frac12$이다.

따라서, 수열 $\displaystyle \{S_n\}$은 초항 $\displaystyle S_1=\frac12|\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}||\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}|\sin\frac\pi4=\frac14$이고 공비가 $\displaystyle \frac12$인 등비수열이 되므로

무한급수의 합 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\frac{\frac14}{1-\frac12}=\frac12$이다.

[4]

변환 $\displaystyle h$에 의하여 옮겨진 점 $\displaystyle \mathrm{D}(b,\frac1b)$은

$\displaystyle h(\mathrm{C})=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac12\\\frac12&\frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\frac1a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12a-\frac1{2a}\\\frac12a+\frac1{2a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\\frac1b\end{pmatrix}$이므로

$\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 관계식을 구하면 $\displaystyle a - \frac{1}{a} = 2b, ~ a+ \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$가 된다.

이에 양변을 곱하면 $\displaystyle a^2-\frac1{a^2}=4$이 되고 이를 정리하면 $\displaystyle a^4-4a^2-1=0$이다.

따라서 $\displaystyle a^2>0$이므로 $\displaystyle a^2=2+\sqrt5$이다.

[5]

변환 $\displaystyle h$의 정의에 의해 변환 $\displaystyle h$를 $\displaystyle 4k$번 적용하면(180°씩 회전) 직선 $\displaystyle l_0$와 옮겨진 직선은 서로 평행한 위치 관계가 된다. 따라서 평행한 위치 관계가 되는 최소의 자연수 $\displaystyle m=4$이다.

이때 변환 $\displaystyle h^{4}$의 행렬 $\displaystyle H^{4} = \begin{pmatrix} \left ( \frac{1}{\sqrt 2} \right )^{4} \cos \frac{4}{4} \pi &~-\left ( \frac{1}{\sqrt 2} \right )^{4} \sin \frac{4}{4} \pi \\ \left ( \frac{1}{\sqrt 2} \right )^{4} \sin \frac{4}{4} \pi &\left ( \frac{1}{\sqrt 2} \right )^{4} \cos \frac{4}{4} \pi \end{pmatrix} = - \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1& ~0\\ 0 &~1 \end{pmatrix}$이 된다.

따라서 변환 $\displaystyle h^4$에 의하여 직선 $\displaystyle l_0$ 위의 점 $\displaystyle (x,y)$가 직선 $\displaystyle l_4$ 위의 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면

$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=-\frac14\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac14x\\-\frac14y\end{pmatrix}$이므로 옮겨진 직선 $\displaystyle l_4$는 $\displaystyle 4x^{\prime}+4y^{\prime}=-1$이 된다.

원점으로부터 직선 $\displaystyle l_0$까지의 거리 $\displaystyle d_0$는 $\displaystyle d_0=\frac{|-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$이고

직선 $\displaystyle l_4$까지의 거리 $\displaystyle d_4$는 $\displaystyle d_4=\frac{|1|}{\sqrt{4^2+4^2}}=\frac1{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2}8$이다.

따라서 두 직선 사이의 거리는 $\displaystyle d_0+d_4=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}8=\frac{5\sqrt2}8$이 된다.