자연계열 1번

[1]

$\displaystyle \cos t=\frac x{\sqrt2}$, $\displaystyle \sin t=y-2$이므로 $\displaystyle \cos^2t+\sin^2t=1$에서

$\displaystyle \frac{x^2}2+(y-2)^2=1$

$\displaystyle y$축과 만나는 점은 $\displaystyle x=0$에서

$\displaystyle \mathrm{A}(0,~3)$, $\displaystyle \mathrm{B}(0,~1)$

[2] $\displaystyle \frac{dx}{dt} = - \sqrt 2 \sin t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = \cos t$이므로

매개변수 함수의 미분공식에 의하여

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\cos t}{-\sqrt2\sin t}=-\frac{\sqrt2}2\frac{\cos t}{\sin t}$ (단, $\displaystyle t\ne0,~t\ne\pi$).

원점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,~0)$을 지나는 접선은 $\displaystyle y=ax$꼴이므로 접점에서의 $\displaystyle t$값은

$\displaystyle 2+ \sin t = - \frac{\sqrt 2}{2} \frac{\cos t}{\sin t}\cdot \sqrt 2 \cos t$에서

$\displaystyle t= \frac{7\pi}6$ 또는 $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$

따라서 두 접점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{C} \left ( - \frac{\sqrt6}{2} ,~ \frac{3}{2} \right )$과 $\displaystyle \mathrm{D} \left ( \frac{\sqrt 6}{2} ,~ \frac{3}{2} \right )$

두 접선이 이루는 각의 코사인 값은 위치벡터 내적의 정의에 의하여

$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{OD}}|}=\frac{(-\frac{\sqrt6}2)(\frac{\sqrt6}2)+(\frac32)(\frac32)}{\sqrt{(-\frac{\sqrt6}2)^2+(\frac32)^2}\sqrt{(\frac{\sqrt6}2)^2+(\frac32)^2}}=\frac15$

[3]

도형은 네 점을 잇는 선분들에 의해

$\displaystyle y$축에 대하여 대칭인 $\displaystyle 4$개의 영역 $\displaystyle a,~b,~c,~d$로 분할된다. 순서에 관계없이 $\displaystyle 2$개를 선택하는 경우의 수는

$\displaystyle {}_8\mathrm{C}_2=\frac{{}_8\mathrm{P}_2}{2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$

선택된 두 영역이 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭인 경우는 $\displaystyle 4$가지 경우뿐이므로

여사건의 확률에 의하여 두 영역이 대칭이 아닐 확률은

$\displaystyle 1- \frac{4}{28} = \frac{6}{7}$

[4] 내접 직사각형의 한 꼭짓점의 좌표를 $\displaystyle (\sqrt 2 \cos t ,~ 2+ \sin t )$라고 하면 (단, $\displaystyle 0 <t< \frac\pi2$)

직사각형의 가로 길이는 $\displaystyle 2\sqrt 2 \cos t$이고 세로 길이는 $\displaystyle 2 \sin t$가 된다.

따라서 넓이는 $\displaystyle S(t) =4\sqrt 2 \sin t \cos t$

넓이의 최댓값을 구하기 위해

$\displaystyle S^{\prime}(t) =4\sqrt 2 (\cos ^{2} t -\sin ^{2} t)= 4\sqrt 2 (\cos t +\sin t ) (\cos t -\sin t )$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(t)=0$을 만족하는 $\displaystyle t$ (단, $\displaystyle 0<t< \frac\pi2$)에서 함수의 증감은

$\displaystyle S \left ( \frac\pi4 \right )= 4 \sqrt 2 \sin \left ( \frac\pi4 \right ) \cos \left ( \frac\pi4 \right ) = 2\sqrt 2$이므로

넓이 $\displaystyle S(t)$의 최댓값은 $\displaystyle 2\sqrt 2$

[5]

$\displaystyle \mathrm{P} \left ( - \frac{\sqrt 3}{2} ,~ 1,~ 0 \right )$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left ( \frac{\sqrt 3}{2} ,~ 1 ,~ 0 \right )$이므로

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}} =(\sqrt 3 ,~ 0,~0)$이고 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}} | = \sqrt 3$이다.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}} =(l,~m,~n)$라 하면

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}} = - \frac{\sqrt 3}{2} l + m = 0$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}} = \frac{\sqrt 3}{2} l +m =0$

연립하면 $\displaystyle l= m=0$이므로

구하는 위치벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}} =(0,~0,~\sqrt 3 )$

평면의 방정식을 $\displaystyle ax +by +cz +d=0$이라 하면

점 $\displaystyle \mathrm{P} \left ( - \frac{\sqrt 3}{2} ,~1,~0 \right )$을 지나므로 $\displaystyle - \frac{\sqrt 3}{2} a +b+ d=0$,

점 $\displaystyle \mathrm{Q} \left ( \frac{\sqrt 3}{2} ,~1,~0 \right )$을 지나므로 $\displaystyle \frac{\sqrt 3}{2} a + b+d=0$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{R}(0,~0,~\sqrt 3 )$을 지나므로 $\displaystyle \sqrt 3 c +d =0$이고 이들 식을 연립하여 $\displaystyle a,~b,~c$를 $\displaystyle d$로 나타내면 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b=-d$, $\displaystyle c=- \frac{\sqrt 3}{3} d$이므로 직선의 방정식은 $\displaystyle -dy - \frac{\sqrt3}{3} dz +d =0$이다.Correction. 답안의 ‘직선의 방정식’은 문맥상 ‘평면의 방정식’의 오기이다. 해당 식은 세 점을 지나는 평면을 나타낸다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle d=0$이라면 $\displaystyle a=b=c=0$이므로 이를 만족하는 평면이 존재하지 않는다.

$\displaystyle d \ne 0$일 때, 세 점 $\displaystyle \mathrm{P},~\mathrm{Q},~\mathrm{R}$을 지나는 평면의 방정식은 $\displaystyle 3y +\sqrt 3 z -3 =0$이 된다.

세 점을 지나는 평면 위의 $\displaystyle \triangle\mathrm{PQR}$의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영이 $\displaystyle \triangle\mathrm{PQO}$이므로

$\displaystyle \triangle\mathrm{PQR}$의 넓이를 $\displaystyle S$, $\displaystyle \triangle\mathrm{PQO}$의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$, 두 평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면

따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{S^{\prime}}S=\frac{\frac12|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}||\overrightarrow{\mathrm{MO}}|}{\frac12|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}||\overrightarrow{\mathrm{MR}}|}=\frac12$이므로, 두 평면이 이루는 각 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$