자연계열 2번

[1] 주어진 조건에 의하면 함수 $\displaystyle \ln f(x)-\ln g(x)$는 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능하며 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}=0$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle \ln f(x)-\ln g(x) =C$ (단, $\displaystyle a\le x\le b$이고 $\displaystyle C$는 적분상수)

한편, $\displaystyle \ln f(x)-\ln g(x)=\ln\frac{f(x)}{g(x)}=C$이므로 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=e^C=k>0$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$\displaystyle f(x)= kg(x)$ (단, $\displaystyle a\le x\le b$이고 $\displaystyle k$는 양수)

[2]

(1) 함수 $\displaystyle f(t)$가 구간 $\displaystyle [ 0,~1]$에서 연속이고 $\displaystyle (0,~1)$에서 $\displaystyle f(t) >0$이면, $\displaystyle 0<t<x$일 때, $\displaystyle 0 <tf(t)< xf(t)$이다. 따라서 제시문의 (다)에서 $\displaystyle p(t) =xf(t) -tf(t)$로 놓으면 다음이 성립한다.

$\displaystyle 0<\int_0^x\{xf(t)-tf(t)\}\,dt=x\int_0^xf(t)\,dt-\int_0^xtf(t)\,dt$ ($\displaystyle 0<x<1$)

또한 $\displaystyle 0< \int _{0}^x tf(t)dt$, $\displaystyle (0<x<1)$이다.

따라서 다음이 성립한다.

$\displaystyle 0<\int_0^xtf(t)\,dt<x\int_0^xf(t)\,dt$ ($\displaystyle 0<x<1$)

여기서 $\displaystyle \int_0^xf(t)\,dt>0$이므로 $\displaystyle 0<\frac{\int_0^xtf(t)\,dt}{\int_0^xf(t)\,dt}<x$, 즉 부등식 $\displaystyle 0<P(x)<x$이 성립한다.

(2) $\displaystyle \lim_{x\to0+}0=0$, $\displaystyle \lim_{x\to0+}x=0$이다. $\displaystyle 0<P(x)<x$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0+}0\le\lim_{x\to0+}P(x)\le\lim_{x\to0+}x$이다.

따라서 $\displaystyle \lim _{ x \to 0+} {P(x) =0 }$이다.

[3]

(1) 함수의 몫의 미분법과 제시문 (나)를 이용하여 함수 $\displaystyle P(x)$를 미분하면

$\displaystyle \frac d{dx}P(x)=\frac{xf(x)\int_0^xf(t)\,dt-f(x)\int_0^xtf(t)\,dt}{\left(\int_0^xf(t)\,dt\right)^2}$

$\displaystyle =\frac{f(x)}{\int_0^xf(t)\,dt}\left\{x-\frac{\int_0^xtf(t)\,dt}{\int_0^xf(t)\,dt}\right\}$

$\displaystyle =\frac{f(x)}{\int_0^xf(t)\,dt}\{x-P(x)\}$

(2) 함수 $\displaystyle Q(x)$를 미분하면 (1)에서와 같은 방법으로 $\displaystyle \frac d{dx}Q(x)=\frac{g(x)}{\int_0^xg(t)\,dt}\{x-Q(x)\}$이다.

조건에서 $\displaystyle P(x) =Q(x)$이므로 $\displaystyle \frac{d}{dx} P(x) = \frac{d}{dx} Q(x)$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac{g(x)}{\int_0^xg(t)\,dt}\{x-Q(x)\}=\frac{f(x)}{\int_0^xf(t)\,dt}\{x-P(x)\}$

그런데 $\displaystyle P(x) = Q(x)$이고 [2]에서 $\displaystyle P(x) <x$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac{f(x)}{\int_0^xf(t)\,dt}=\frac{g(x)}{\int_0^xg(t)\,dt}$ (단, $\displaystyle 0<x<1$)

[4]

(A) 먼저 $\displaystyle P(x)= Q(x)$이라고 가정하자. 그러면 [3]의 (2)에서 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac{f(x)}{\int_0^xf(t)\,dt}=\frac{g(x)}{\int_0^xg(t)\,dt}$ 또는 $\displaystyle f(x)\int_0^xg(t)\,dt=g(x)\int_0^xf(t)\,dt$

위 식의 양변을 미분하여 정리하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)\int_0^xg(t)\,dt=g^{\prime}(x)\int_0^xf(t)\,dt$

위의 두 식으로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}~~~(0<x<1)$

따라서 [1]에 의하여 $\displaystyle f(t) =kg(t)$ (단, $\displaystyle k$는 양수)

(B) 이제 $\displaystyle f(t) =kg(t)$ (단, $\displaystyle k$는 양수)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$\displaystyle P(x)=\frac{\int_0^xtf(t)\,dt}{\int_0^xf(t)\,dt}=\frac{\int_0^xtkg(t)\,dt}{\int_0^xkg(t)\,dt}=\frac{\int_0^xtg(t)\,dt}{\int_0^xg(t)\,dt}=Q(x)$

(A)와 (B)에 의하여 증명이 끝났다.