자연계열 1번

[1] $\displaystyle f(x)=\left|\frac x{1+x^2}\right|$라고 하면 이 함수는 $\displaystyle y$축 대칭이다. 따라서 $\displaystyle x>0$에서 함수의 증감표를 그려보자.

$\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle f(x)=\frac x{1+x^2}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0$이다.

또 $\displaystyle \lim _{ x \to \infty } \frac{x}{ 1+x^{2} }=0$이고 $\displaystyle f(0)=0$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \left|\frac x{1+x^2}\right|\le\frac12$이므로 $\displaystyle p$의 최솟값이 $\displaystyle \frac12$이다.

[2] 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$이다. 따라서 곡선의 식은 $\displaystyle y=\pm\sqrt{1-\frac{x^2}4}$, $\displaystyle (-2\le x\le2)$이므로 빗금친 부분의 넓이

$\displaystyle S=2\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx=4\int_0^{\sqrt3}\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx$이다.

$\displaystyle x= 2 \cos \theta$ $\displaystyle \left ( 0 \le \theta \le \frac\pi2 \right )$로 치환하면 $\displaystyle dx = -2 \sin\theta d \theta$이다. 또한

적분구간은 $\displaystyle 2 \cos \theta =0$, $\displaystyle 2 \cos \theta = \sqrt 3$로부터 $\displaystyle \theta = \frac\pi2$, $\displaystyle \theta = \frac\pi6$이다. 따라서

$\displaystyle S= 4 \int _{ \frac\pi2 } ^{\frac\pi6 } {(-2 \sin ^{2} \theta )d \theta =-4 \int _{ \frac\pi2 } ^{\frac\pi6 } (1- \cos 2\theta ) d \theta = \sqrt 3 + \frac{4}{3} \pi { } }$이다.

[3] 직선 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 방향 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$는 $\displaystyle (-1,2,1)$이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{OB}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{H}$의 좌표를 $\displaystyle (-t,2t,t)$라 하자. 직선 $\displaystyle \mathrm{AH}$의 방향 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}=(-t-2,2t-3,t)$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$는 수직이어야 하므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=6t-4=0$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac23$이고 점 $\displaystyle \mathrm{H}$의 좌표는 $\displaystyle (-\frac23,\frac43,\frac23)$이다.

따라서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}$의 길이는 $\displaystyle \frac{2\sqrt6}3$이다.

[4] $\displaystyle g(x)= f(x) -x -\cos \left ( \frac\pi2 x \right )$로 정의하자.

$\displaystyle g(-1)=f(-1)+1>0$이고 $\displaystyle g(1)= f(1) -1<0$이므로 사이값 정리에 의해 $\displaystyle g(c)= f(c)- c-\cos \left ( \frac\pi2 c \right )=0$을 만족하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (-1,~1)$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 따라서 $\displaystyle f(c) =c+ \cos \left ( \frac\pi2 c \right )$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (-1,~1)$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

[5] $\displaystyle I_n$에 부분 적분법을 적용하면

$\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}x^n\sin x\,dx=\int_0^{\pi/2}x^n(-\cos x)^{\prime}\,dx=-\int_0^{\pi/2}nx^{n-1}(-\cos x)\,dx-\Biggl[x^n\cos x\Biggr]_0^{\pi/2}=n\int_0^{\pi/2}x^{n-1}\cos x\,dx$이다. (단, $\displaystyle n\ge1$).

위 식에 부분 적분법을 적용하면

$\displaystyle I_n=n\int_0^{\pi/2}x^{n-1}(\sin x)^{\prime}\,dx=-n(n-1)\int_0^{\pi/2}x^{n-2}\sin x\,dx+\Biggl[nx^{n-1}\sin x\Biggr]_0^{\pi/2}$이다. (단, $\displaystyle n\ge2$).

여기서 $\displaystyle \int_0^{\pi/2}x^{n-2}\sin x\,dx$는 $\displaystyle I_{n-2}$이고 $\displaystyle \Biggl[nx^{n-1}\sin x\Biggr]_0^{\pi/2}=n(\frac\pi2)^{n-1}$이므로

$\displaystyle I_n+n(n-1)I_{n-2}=n(\frac\pi2)^{n-1}$을 얻는다. 여기에 $\displaystyle n=100$을 대입하면 정답은 $\displaystyle 100(\frac\pi2)^{99}$이다.