자연계열 2번

[1] $\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\in S$라면 영이 아닌 정수 $\displaystyle p$가 존재하여 $\displaystyle f(x)=f(x+p)$이다.따라서 $\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}=a_{0}+a_{1}(x+p)+a_{2}(x+p)^{2}+a_{3}(x+p)^{3}$이다. 각항의 계수를 비교하면 다음과 같은 식을 얻는다.$\displaystyle a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+a_{3}p^{3}=a_{0},\quad a_{1}+2a_{2}p+3a_{3}p^{2}=a_{1},\quad a_{2}+3a_{3}p=a_{2}.$그런데 $\displaystyle p\neq 0$이므로 $\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=0$이다. 즉, $\displaystyle f(x)=a_{0}$이므로 $\displaystyle S$는 정수 전체의 집합이다.

따라서$\displaystyle T-S=\left\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\in T\,|\,a_{1},a_{2},a_{3}\text{는 동시에 영은 아니다}\right\}.$

[2] 가정에 의하여 $\displaystyle f(x^{2})=xf(x-2)+12$이다.

다항식 $\displaystyle f(x)$의 차수를 $\displaystyle m$이라 가정하면 $\displaystyle f(x^{2})$의 차수는 $\displaystyle 2m$이고 $\displaystyle xf(x-2)+12$의 차수는 $\displaystyle m+1$이다. 따라서 $\displaystyle 2m=m+1$이고 $\displaystyle m=1$이므로 $\displaystyle f(x)$의 차수는 1이다.

$\displaystyle f(x)=ax+b$라고 놓으면 $\displaystyle f(x^{2})=ax^{2}+b$이고 $\displaystyle xf(x-2)+12=x\left\{a(x-2)+b\right\}+12=ax^{2}+(-2a+b)x+12$이다. 그러므로 $\displaystyle ax^{2}+b=ax^{2}+(-2a+b)x+12$이고 $\displaystyle (2a-b)x+b-12=0$이다. 따라서 $\displaystyle 2a-b=0$, $\displaystyle b-12=0$이고 $\displaystyle a=6$, $\displaystyle b=12$이다. 즉, $\displaystyle f(x)=6x+12$이다.

[3] $\displaystyle A=BQ_{1}+R_{1}=BQ_{2}+R_{2}$이므로 $\displaystyle B(Q_{1}-Q_{2})=R_{2}-R_{1}$이다.

$\displaystyle Q_{1}\neq Q_{2}$라고 가정하자. $\displaystyle R_{1}$과 $\displaystyle R_{2}$의 차수는 $\displaystyle B$의 차수보다 낮으므로 $\displaystyle R_{2}-R_{1}$의 차수는 $\displaystyle B$의 차수보다 낮다. 그런데 $\displaystyle B(Q_{1}-Q_{2})$의 차수는 $\displaystyle B$의 차수보다 낮지 않으므로 $\displaystyle B(Q_{1}-Q_{2})$의 차수와 $\displaystyle R_{2}-R_{1}$의 차수는 같지 않다. 이는 모순이므로 $\displaystyle Q_{1}=Q_{2}$이다.

그러므로 $\displaystyle 0=B(Q_{1}-Q_{2})=R_{2}-R_{1}$이고 $\displaystyle R_{1}=R_{2}$이다.

[4] (1) $\displaystyle g(x)\in T$라 가정하면 적당한 정수 $\displaystyle a_{i}$, $\displaystyle i=0,1,2,3$가 존재하여 $\displaystyle 2^{x}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$이다. 양변을 미분하면 $\displaystyle 2^{x}\ln 2=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}$이다.

$\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle a_{1}=\ln 2$이다.

그런데 $\displaystyle \ln 2$는 정수가 아니므로 $\displaystyle g(x)\notin T$이다.

(2) ( i ) $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle f(1)=-3$이고 $\displaystyle g(1)=2$이므로 $\displaystyle f(1)<g(1)$이 성립한다.

( ii ) $\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle f(n)<g(n)$가 성립한다고 가정하자. 즉 $\displaystyle k^{2}-k-3<2^{k}$이라 가정하자. 그런데 $\displaystyle f(k+1)=(k+1)^{2}-(k+1)-3=\left(k^{2}-k-3\right)+2k$이고 $\displaystyle g(k+1)=2^{k+1}=2^{k}+2^{k}$이므로 가정에서 주어진 조건 $\displaystyle 2k\le 2^{k}$을 이용하면 $\displaystyle f(k+1)<g(k+1)$이다. 따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때에도 명제 $\displaystyle f(n)<g(n)$가 성립하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 주어진 명제가 증명된다.