자연계열 1번

[1] (1) $\displaystyle \dfrac{x+1}{2}=y=2-z=t$라 하면 직선 위의 점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}(2t-1,t,2-t)$이다.

원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 사이의 거리는$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{(2t-1)^2+t^2+(2-t)^2}=\sqrt{6\left(t-\dfrac23\right)^2+\dfrac73}$이다.

원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 직선 $\displaystyle l$까지의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$의 최솟값이므로, $\displaystyle t=\dfrac23$일 때 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{21}}3$이다.

(2) 직선 $\displaystyle l$위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있으면 $\displaystyle (2t-1)-3t+2(2-t)=0$이므로 $\displaystyle t=1$이고, 따라서 직선 $\displaystyle l$과 평면 $\displaystyle \alpha$의 교점은 $\displaystyle \mathrm{A}(1,1,1)$이다.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,1,1)$이 평면 $\displaystyle \beta$의 법선벡터이므로 평면 $\displaystyle \beta$의 방정식은 $\displaystyle x+y+z+d=0$이다.

이 평면이 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,1,1)$을 지나므로 $\displaystyle d=-3$이고, 따라서 평면 $\displaystyle \beta$의 방정식은 $\displaystyle x+y+z-3=0$이다.

(3) $\displaystyle \overrightarrow{n_1}=(1,1,1)$은 평면 $\displaystyle \beta$의 법선벡터이고 $\displaystyle \overrightarrow{n_2}=(0,0,1)$은 $\displaystyle xy$평면의 법선벡터이다.

두 평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 할 때$\displaystyle \cos\theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\dfrac{|1\times0+1\times0+1\times1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\dfrac{\sqrt3}3$이다.

[2] (1) 구하는 도형 위의 임의의 점을 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y,z)$라고 하면$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(x-5,y-3,z-\sqrt2),~\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(x-7,y-5,z+\sqrt2)$이다.

조건에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}}=0$이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}}=(x-5,y-3,z-\sqrt2)\cdot(x-7,y-5,z+\sqrt2)=(x-6)^2+(y-4)^2+z^2-4=0$이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 나타내는 도형은 구이고, 이 구의 중심은 $\displaystyle \mathrm{D}(6,4,0)$이고 반지름은 $\displaystyle r=2$이다.

(2) 두 점 $\displaystyle \mathrm{B},\mathrm{C}$는 구의 방정식을 만족하므로 구 위에 있고, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}}=0$이므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{B},\mathrm{C}$는 구의 지름의 양 끝점이 된다. 따라서, 세 점 $\displaystyle \mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$는 일직선 위에 있다.

점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 구의 중심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CD}}$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$를 밑변으로 하는 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBD}$와 $\displaystyle \mathrm{ODC}$의 높이는 같다. 따라서 $\displaystyle S_1=S_2$이고 $\displaystyle \dfrac{S_1}{S_2}=1$이다.

(3) 구와 $\displaystyle xy$평면이 만나는 도형은 $\displaystyle z=0$에서 $\displaystyle (x-6)^2+(y-4)^2=4$인 원이다. 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$를 원 위의 임의의 점이라고 하고 점 $\displaystyle \mathrm{E}(2,1,3\sqrt3)$에서 $\displaystyle xy$평면에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{E}^{\prime}(2,1,0)$이라고 하자. 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{D}}=\sqrt{(6-2)^2+(4-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{25}=5$이고, 원의 반지름이 2이므로 점 $\displaystyle \mathrm{E}^{\prime}$은 원 외부에 있는 점이 된다.

따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{E}^{\prime}\mathrm{D}$와 원이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$이라고 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{Q}}$ 중 최소가 되고, 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{EQ}^{\prime}}$도 $\displaystyle \overline{\mathrm{EQ}}$ 중 최소가 된다. $\displaystyle \overline{\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}=\overline{\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{D}}-2=5-2=3$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{E}$에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{EQ}^{\prime}}=\sqrt{(3\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{36}=6$이다.