자연계열 2번

1. 함수의 증가와 감소

함수 $\displaystyle f(x)$가 어떤 열린 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 $\displaystyle x$에 대하여

㉠ $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이면 $\displaystyle f(x)$는 그 구간에서 증가한다.

㉡ $\displaystyle f^{\prime}(x) <0$이면 $\displaystyle f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

2. 미적분의 기본 정리

함수 $\displaystyle f(t)$가 구간 $\displaystyle [ a,~b ]$에서 연속이고 $\displaystyle f(t)$의 한 부정적분을 $\displaystyle F (t)$라고 하면 $\displaystyle \int_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)$

3. 적분과 미분의 관계

함수 $\displaystyle f(t)$가 구간 $\displaystyle [ a,~b ]$에서 연속일 때, $\displaystyle \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$ (단, $\displaystyle a<x<b$)

4. 사이값 정리

함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a,~b ]$에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$이면, $\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 임의의 값 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$ $\displaystyle \left ( a<c<b \right )$인 $\displaystyle c$가 적어도 하나 존재한다.

5. 곡선의 오목과 볼록

함수 $\displaystyle f(x)$가 어떤 구간에서

㉠ $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 이 구간에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다.

㉡ $\displaystyle f^{\prime\prime}(x) <0$이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 이 구간에서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다.

6. 정적분의 부분적분법

두 함수 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a,~b ]$에서 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)$, $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 연속일 때,

$\displaystyle \int_a^b f(x) g^{\prime}(x)dx = \Biggl[ f(x) g(x) \Biggr]_a^b - \int_a^b f^{\prime}(x) g(x)dx$

7. 치환적분법을 이용한 정적분

구간 $\displaystyle [ a,~b ]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$가 구간 $\displaystyle [ \alpha ,~ \beta ]$에서 연속이고, $\displaystyle a= g(\alpha )$, $\displaystyle b= g(\beta )$이면

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$