자연계열 2번

[1] (1) $\displaystyle f(0)=-2+2\displaystyle\int_0^0(1-\cos t+t\sin t)\,dt=-2$이다.

(2) $\displaystyle f(1)=-1+2\displaystyle\int_0^1(1-\cos t+t\sin t)\,dt$

$\displaystyle =-1+2\left(\Biggl[t-\sin t\Biggr]_0^1+\int_0^1t\sin t\,dt\right)$

$\displaystyle =-1+2\left(\Biggl[t-\sin t\Biggr]_0^1-\Biggl[t\cos t\Biggr]_0^1+\int_0^1\cos t\,dt\right)$

$\displaystyle =-1+2(1-\cos1)$

$\displaystyle =1-2\cos1$이다.

$\displaystyle \dfrac\pi4<1<\dfrac\pi3$이므로 $\displaystyle \dfrac12=\cos\dfrac\pi3<\cos1<\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$이다.

따라서 $\displaystyle 1-\sqrt2<f(1)=1-2\cos1<0$이다.

(3) $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이고 $\displaystyle f(0)=-2<-1<1-\sqrt2<f(1)$이므로 사이값 정리에 의하여 방정식 $\displaystyle f(x)=-1$을 만족시키는 근이 0과 1사이에 존재한다.

(4) 구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi2\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+2(1-\cos x+x\sin x)=3-2\cos x+2x\sin x>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi2\right)$에서 증가한다.

(5) 구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi2\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=4\sin x+2x\cos x>0$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi2\right)$에서 아래로 볼록하다.

[2] (1) $\displaystyle a_1=\displaystyle\int_0^1\frac x2e^{-x^2}\,dx=\Biggl[-\frac14e^{-x^2}\Biggr]_0^1=\frac14\left(1-\frac1e\right)$이다.

(2) $\displaystyle a_n=\displaystyle\int_0^{\frac1{\sqrt n}}\frac x{n+1}e^{-nx^2}\,dx=\Biggl[-\frac1{2n(n+1)}e^{-nx^2}\Biggr]_0^{\frac1{\sqrt n}}=\frac1{2n(n+1)}\left(1-\frac1e\right)$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n=\frac12\left(1-\frac1e\right)\sum_{n=1}^{99}\frac1{n(n+1)}=\frac{e-1}{2e}\sum_{n=1}^{99}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\frac{99(e-1)}{200e}$