자연계열 1번

[1] $\displaystyle t\ne t+1$이므로 $\displaystyle t=2t^2-t-4$이다.

따라서 $\displaystyle t=-1$ 또는 $\displaystyle t=2$이다. $\displaystyle t=-1$이면 $\displaystyle 3=t+1$를 만족하지 않으므로 $\displaystyle t=2$이다. 또한 $\displaystyle t=2$는 $\displaystyle 3=t+1$를 만족시킨다. 그러므로 $\displaystyle t=2$이다.

[2] $\displaystyle a\in A$이라고 하자. 만일 $\displaystyle a\notin\{-1,0,1\}$이면 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a^{2^{n-1}}\in A$이고 $\displaystyle a^{2^n}-a^{2^{n-1}}=a^{2^{n-1}}(a^{2^{n-1}}-1)>0$이므로 $\displaystyle a^{2^{n-1}}<a^{2^n}$이다. 따라서 $\displaystyle A$가 유한집합이므로 가정에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle A\subset\{-1,0,1\}$이다.

그런데 집합 $\displaystyle \{-1,0,1\}$의 부분집합은 모두 8개이고 그 중 $\displaystyle \varnothing,~\{-1\},~\{-1,0\}$ 등 3가지 경우는 주어진 조건을 만족시키지 않으므로 이 경우들을 제외한 다음과 같은 5가지의 경우가 주어진 명제를 만족시키는 집합 $\displaystyle A$이다.

$\displaystyle A=\{0\},~A=\{1\},~A=\{0,1\},~A=\{-1,1\},~A=\{-1,0,1\}$

[3] (1) 함수 $\displaystyle f:X\to X$가 일대일함수이면

(i) $\displaystyle f(1)=1$일 때 $\displaystyle f(2)=2$ 또는 $\displaystyle f(2)=3$이고 각각의 경우에 $\displaystyle f(3)$는 유일하게 결정되므로 2가지 존재한다.

(ii) $\displaystyle f(1)=2$일 때 $\displaystyle f(2)=1$ 또는 $\displaystyle f(2)=3$이고 각각의 경우에 $\displaystyle f(3)$는 유일하게 결정되므로 2가지 존재한다.

(iii) $\displaystyle f(1)=3$일 때 $\displaystyle f(2)=1$ 또는 $\displaystyle f(2)=2$이고 각각의 경우에 $\displaystyle f(3)$는 유일하게 결정되므로 2가지 존재한다.

그러므로 집합 $\displaystyle X$에서 $\displaystyle X$로의 일대일함수는 모두 6개 존재한다.

(2) $\displaystyle f(1)=3$이고 $\displaystyle f(2)=1$이므로 $\displaystyle f(3)=2$이다. 따라서 $\displaystyle f^{-1}(2)=3$이고 $\displaystyle f^{-1}(3)=1$이다. 그러므로

$\displaystyle (f^{-1}\circ f^{-1})(2)=f^{-1}(f^{-1}(2))=f^{-1}(3)=1$

이다. 따라서 $\displaystyle (f^{-1}\circ f^{-1})(2)=1$이다.

(3) 함수 $\displaystyle h(x)=ax^2+bx+c$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 $\displaystyle b^2-4ac>0$이다.

그런데 $\displaystyle a,b,c$는 각각 1 또는 2 또는 3이므로 이 부등식을 만족시키는 $\displaystyle a,b,c$의 값은 다음과 같다.

$\displaystyle a=1,~b=3,~c=2$ 또는 $\displaystyle a=2,~b=3,~c=1$

두 가지 경우 모두 $\displaystyle b=3,~ac=2$이므로 $\displaystyle b-ac=1$이다.