자연계열 2번

[1] 운동 방향이 바뀌는 시각의 속도는 0이다.

$\displaystyle v(t)=-3t^2+30t=-3t(t-10)=0$이다. $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle t=10$이다.

[2] $\displaystyle 0<x<1$일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x^n=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=b$

$\displaystyle x>1$일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x^n=\infty$이므로

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{ax^{n+3}-x^2+x+b}{x^n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{ax^3-\dfrac{x^2}{x^n}+\dfrac{x}{x^n}+\dfrac b{x^n}}{1+\dfrac1{x^n}}=ax^3$

따라서 $\displaystyle \lim_{x\to1+}f(x)=a$이다.

$\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로 $\displaystyle a=b$이고 $\displaystyle f(1)=\dfrac ab=1$이므로 $\displaystyle a=1,~b=1$

[3] $\displaystyle S(k)=\displaystyle\int_0^{\frac k2}(k-2x)\,dx+\int_{\frac k2}^1(2x-k)\,dx$

$\displaystyle =\Biggl[kx-x^2\Biggr]_0^{\frac k2}+\Biggl[x^2-kx\Biggr]_{\frac k2}^1$

$\displaystyle =\dfrac{k^2}2-k+1$

따라서 $\displaystyle S\left(\dfrac12\right)=\dfrac58$

또한 $\displaystyle S(k)=\dfrac12(k^2-2k+2)=\dfrac12(k-1)^2+\dfrac12$이므로 $\displaystyle S(k)$의 최솟값은 $\displaystyle k=1$ ($\displaystyle 0\le k\le2$)일 때 $\displaystyle \dfrac12$이다.

[4] (1) $\displaystyle f(0)=f(0)+f(0)$이므로 $\displaystyle f(0)=0$이다.

(또는 $\displaystyle |f(0)|\le0$이므로 $\displaystyle f(0)=0$이다.)

(2) $\displaystyle |f(x)|\le x^2$이므로 $\displaystyle \left|\dfrac{f(h)}h\right|\le\dfrac{h^2}{|h|}=|h|$ 즉, $\displaystyle -|h|\le\dfrac{f(h)}h\le|h|$

따라서 $\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(h)}h=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}h=0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 0에서 미분 가능하다.

(3) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)}h=f^{\prime}(0)=0$

따라서 $\displaystyle f(x)$는 모든 실수 $\displaystyle x$에서 미분 가능하다.

(4) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 상수함수이다. 그런데 $\displaystyle f(0)=0$이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=0$이다.