자연계열 2번

1. 속도

수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t$에서의 좌표가 $\displaystyle x =f(t)$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t$에서의 속도 $\displaystyle v$는 $\displaystyle v(t)= \frac{dx}{dt} = f^{\prime}(t)$이다.

2. 좌극한과 우극한

$\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle a$보다 작으면서 $\displaystyle a$에 한없이 가까워질 때, $\displaystyle f(x)$의 값이 일정한 값 $\displaystyle p$에 한없이 가까워지면 $\displaystyle p$를 $\displaystyle x=a$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 좌극한이라 하고, 기호로 $\displaystyle \lim _{x \to a-} f(x)=p$와 같이 나타낸다. 또 $\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle a$보다 큰 값을 가지면서 $\displaystyle a$에 한없이 가까워질 때, $\displaystyle f(x)$의 값이 일정한 값 $\displaystyle q$에 한없이 가까워지면 $\displaystyle q$를 $\displaystyle x=a$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 우극한이라 하고, 기호로 $\displaystyle \lim _{x \to a+}f(x)=q$와 같이 나타낸다.

3. 함수의 연속

함수 $\displaystyle f(x)$가 실수 $\displaystyle a$에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이라고 한다.

4. 함수의 극한의 대소 관계

$\displaystyle \lim _{x \to a} f(x)=p$, $\displaystyle \lim _{x \to a} g(x) =q$ ($\displaystyle p,~q$는 실수)일 때, $\displaystyle a$에 가까운 모든 $\displaystyle x$의 값에 대하여

$\displaystyle f(x)\le h(x)\le g(x)$이고 $\displaystyle p=q$이면 $\displaystyle \lim _{x \to a} h(x)=p$이다.

5. 미분 가능의 정의

함수 $\displaystyle y=f(x)$에서 $\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle a+h$까지 변할 때, $\displaystyle x$의 증분은 $\displaystyle \Delta x = (a+h)-a=h$이다. 이때 $\displaystyle y$의 증분은 $\displaystyle \Delta y = f(a+h)-f(a)$이므로 이 함수의 평균변화율은

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

이다. 여기서 $\displaystyle \Delta x\to0$일 때, 평균변화율의 극한값

$\displaystyle \lim _{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim _{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

가 존재하면 함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하다고 한다.

6. 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [ a,~b ]$에서 연속이고 구간 $\displaystyle \left ( a,~b \right )$에서 미분가능하며, 구간 $\displaystyle \left ( a,~b \right )$의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x) =0$이면 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [ a,~b ]$에서 상수함수이다.

$\displaystyle p$ : 모든 실수 $\displaystyle x,~y$에 대하여, $\displaystyle f(x+y)= f(x)+f(y)$이고 $\displaystyle | f(x) |\le x^{2}$이다.

$\displaystyle q$ : 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle f(x)=0$이다.