자연계열 1번

[1] (1) 직선 $\displaystyle l$의 방정식을 $\displaystyle y=2ax+b$라 하고 포물선의 방정식과 연립하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle x^2-4x=2ax+b\quad\Rightarrow\quad x^2-(4+2a)x-b=0$

두 점 $\displaystyle A,B$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x_1,x_2$ ($\displaystyle x_1<x_2$)라 하면 제시문 2로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle \dfrac43=\int_{x_1}^{x_2}\{(2ax+b)-(x^2-4x)\}\,dx=\dfrac{(x_2-x_1)^3}6\quad\Rightarrow\quad x_2-x_1=2$

한편, 근과 계수의 관계로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle x_1+x_2=4+2a,\quad x_1x_2=-b$

위에서 얻은 식들을 연립하여 계산하면 $\displaystyle x_1,x_2$와 $\displaystyle b$는 다음과 같다.

$\displaystyle x_1=a+1,\quad x_2=a+3,\quad b=-(a+1)(a+3)$

따라서 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-(a+1)(a+3)$이다.

(2) (1)에서 얻은 식들로부터 중점 $\displaystyle M$의 좌표 $\displaystyle x_0$과 $\displaystyle y_0$은 다음과 같다.

$\displaystyle x_0=\dfrac{x_1+x_2}2=a+2,\quad y_0=2ax_0-(a+1)(a+3)$

$\displaystyle a=x_0-2$를 위의 두 번째 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}y_0&=2(x_0-2)x_0-(x_0-1)(x_0+1)\\&=2x_0^2-4x_0-(x_0^2-1)\\&=x_0^2-4x_0+1\end{aligned}$

따라서 도형의 방정식은 $\displaystyle y=x^2-4x+1$이다.

[2] (1) 선분 $\displaystyle AB$의 길이는 피타고라스 정리를 이용하여 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle (\text{선분 }AB\text{의 길이})=\sqrt{(7-1)^2+(2-5)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5$

(2) 선분 $\displaystyle AB$를 $\displaystyle s:(1-s)$로 내분하는 점을 $\displaystyle Q$라 하면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(1-s)\overrightarrow{PA}+s\overrightarrow{PB}$

이를 주어진 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle 2\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}\quad\Rightarrow\quad\overrightarrow{OP}=\dfrac13\overrightarrow{OQ}$

따라서, 세 점 $\displaystyle O,P,Q$는 동일 직선 위에 있다. 또한 점 $\displaystyle P$는 선분 $\displaystyle OQ$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점임을 알 수 있다. $\displaystyle s$가 $\displaystyle 0\le s\le1$이므로 $\displaystyle Q$는 선분 $\displaystyle AB$에서 움직이는 점이다. 그러므로 선분 $\displaystyle OA$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점을 $\displaystyle A^{\prime}$, 선분 $\displaystyle OB$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점을 $\displaystyle B^{\prime}$이라 하면 점 $\displaystyle P$가 그리는 선분은 선분 $\displaystyle A^{\prime}B^{\prime}$이다. 한편 $\displaystyle \triangle OA^{\prime}B^{\prime}$과 $\displaystyle \triangle OAB$의 닮음비로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle \dfrac{\overline{A^{\prime}B^{\prime}}}{\overline{AB}}=\dfrac13$

따라서 선분 $\displaystyle A^{\prime}B^{\prime}$의 길이, 즉 점 $\displaystyle P$가 그리는 선분의 길이는 다음과 같다.

$\displaystyle (\text{점 }P\text{가 그리는 선분의 길이})=3\sqrt5\times\dfrac13=\sqrt5$

[3] (1) $\displaystyle \triangle ACD$와 $\displaystyle \triangle BCD$는 이등변 삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle CD$의 중점을 $\displaystyle M$이라 하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \overline{AM}=1,\quad\overline{BM}=2,\quad\overline{AM}\perp\overline{CD},\quad\overline{BM}\perp\overline{CD}$

이로부터 $\displaystyle \triangle ABM$을 포함하는 평면은 변 $\displaystyle CD$에 수직임을 알 수 있다. 그러므로 사면체 $\displaystyle ABCD$의 부피는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle (\text{사면체 }ABCD\text{의 부피})=\dfrac13\times\overline{CD}\times(\triangle ABM\text{의 넓이})\quad\cdots\text{①}$

$\displaystyle \triangle ABM$에서 꼭지점 $\displaystyle A$에서 변 $\displaystyle BM$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 하자. $\displaystyle x$는 선분 $\displaystyle AH$의 길이, $\displaystyle \overline{BH}=b$라 하면 $\displaystyle \overline{MH}=2-b$ (또는 $\displaystyle b-2$)이므로 피타고라스 정리에 의해 다음을 얻는다.

$\displaystyle a^2=x^2+b^2,\quad1=x^2+(2-b)^2$

연립 방정식을 풀면 다음과 같다.

$\displaystyle b=\dfrac{a^2+3}4,\quad x^2=\dfrac{-(a^4-10a^2+9)}{16},\quad x=\dfrac{\sqrt{-(a^4-10a^2+9)}}4$

그러므로 $\displaystyle \triangle ABM$의 넓이는 다음과 같다.

$\displaystyle \dfrac12\times2\times\dfrac{\sqrt{-(a^4-10a^2+9)}}4=\dfrac{\sqrt{-(a^4-10a^2+9)}}4$

이제 식 ①을 이용하면 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같다.

$\displaystyle V=\dfrac13\times2\times\dfrac{\sqrt{-(a^4-10a^2+9)}}4=\dfrac{\sqrt{-(a^4-10a^2+9)}}6$.

(2) $\displaystyle V$가 값을 가지려면 근호 안의 값이 양수이어야 하므로 다음 부등식을 얻는다.

$\displaystyle a^4-10a^2+9=(a^2-1)(a^2-9)<0$

이로부터 $\displaystyle a^2$의 범위는 다음과 같다.

$\displaystyle 1<a^2<9$

한편 근호 안의 식은 $\displaystyle -(a^2-5)^2+16$이므로 $\displaystyle V$의 최댓값은 다음과 같다.

$\displaystyle \dfrac{\sqrt{16}}6=\dfrac23$