자연계열 2번

[1] (1) 두 점 $\displaystyle P_n,~Q_n$은 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle Q_n$의 좌표는 $\displaystyle (\log_3n,n)$이다.

(2) 세 점 $\displaystyle A_n(n,0),~B_n(n,n),~C_n(0,n)$에 대하여 삼각형 $\displaystyle OP_nQ_n$의 넓이 $\displaystyle a_n$은 사각형 $\displaystyle OA_nB_nC_n$의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle OA_nP_n$, 삼각형 $\displaystyle OQ_nC_n$, 삼각형 $\displaystyle P_nB_nQ_n$의 넓이를 뺀 것이다.

$\displaystyle (\text{사각형 }OA_nB_nC_n\text{의 넓이})=n^2$

$\displaystyle (\text{삼각형 }OA_nP_n\text{의 넓이})=(\text{삼각형 }OQ_nC_n\text{의 넓이})=\dfrac12n\log_3n$

$\displaystyle (\text{삼각형 }P_nB_nQ_n\text{의 넓이})=\dfrac12(n-\log_3n)^2$

따라서 $\displaystyle a_n=n^2-n\log_3n-\dfrac12(n-\log_3n)^2=\dfrac12n^2-\dfrac12(\log_3n)^2$

(3) $\displaystyle\sum_{k=1}^n\{2a_k+(\log_3k)^2\}=\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$

[2] (1) 도형 $\displaystyle A$의 방정식은 $\displaystyle x^2-4y+4=0$, 도형 $\displaystyle B$의 방정식은 $\displaystyle y^2-4x+4=0$

$\displaystyle y$를 소거하여 정리하면 $\displaystyle x^4+8x^2-64x+80=(x-2)^2(x^2+4x+20)=0$

$\displaystyle x^2+4x+20=0$의 판별식 $\displaystyle \dfrac D4=4-20<0$이므로 $\displaystyle (x-2)^2(x^2+4x+20)=0$의 해는 $\displaystyle x=2$뿐이다.

그러므로 도형 $\displaystyle A$와 도형 $\displaystyle B$는 한 점 $\displaystyle (2,2)$에서만 만난다.

(2) 도형 $\displaystyle A$는 함수 $\displaystyle y=\dfrac14x^2+1$의 그래프이고 이 함수의 $\displaystyle x=2$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=x$이다. 닫힌 구간 $\displaystyle [0,1]$의 임의의 점 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 $\displaystyle S(x)$는 한 변의 길이가 $\displaystyle \dfrac14x^2-x+1$인 정삼각형의 넓이이므로

$\displaystyle S(x)=\dfrac12\left(\dfrac14x^2-x+1\right)^2\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}4\left(\dfrac{x^4}{16}-\dfrac{x^3}2+\dfrac32x^2-2x+1\right)$

구하는 입체의 부피 $\displaystyle V$는

$\displaystyle \begin{aligned}V&=\dfrac{\sqrt3}4\int_0^1\left(\dfrac{x^4}{16}-\dfrac{x^3}2+\dfrac32x^2-2x+1\right)dx\\&=\dfrac{\sqrt3}4\Biggl[\dfrac{x^5}{80}-\dfrac{x^4}8+\dfrac{x^3}2-x^2+x\Biggr]_0^1=\dfrac{31\sqrt3}{320}\end{aligned}$

[3] $\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+1=0$의 두 근은 $\displaystyle \cos\theta,~\sec\theta$이다.

근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle \cos\theta\sec\theta=1=\dfrac1{3a}$. 따라서 $\displaystyle a=\dfrac13$.

만약 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 중근을 가지면 ($\displaystyle \theta=0$인 경우로 $\displaystyle x=\cos0=\sec0=1$) $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-1)^2\ge0$이다. 이 경우 $\displaystyle f(x)$는 증가하므로 $\displaystyle f(x)$는 극값을 갖지 않는다.

그러므로 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

$\displaystyle \dfrac D4=b^2-3a=b^2-1>0$이므로 $\displaystyle b>1$ 또는 $\displaystyle b<-1$이다. $\displaystyle \cdots\cdots$㉠

한편 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle -2b=\cos\theta+\sec\theta$

주어진 범위 $\displaystyle -\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2$에서 $\displaystyle \cos\theta$와 $\displaystyle \sec\theta$모두 양수 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해

$\displaystyle -2b=\cos\theta+\sec\theta\ge2\sqrt{\cos\theta\sec\theta}=2$, 즉 $\displaystyle b\le-1$ $\displaystyle \cdots\cdots$㉡

㉠과 ㉡에 의해 $\displaystyle b<-1$

이 경우 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-\cos\theta)(x-\sec\theta)$이고 구간 $\displaystyle \left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$에서 $\displaystyle 0<\cos\theta\le1$이고 $\displaystyle 1\le\sec\theta$

따라서 제시문 3에 의해 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\cos\theta$에서 극댓값을 $\displaystyle x=\sec\theta$에서 극솟값을 갖게 된다.

[4] $\displaystyle f(x)=\tan3x-ax$라 하자.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3\sec^23x-a$

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(18\sec^23x)\tan3x$

구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi6\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$

제시문 4에 의해 구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi6\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가한다. $\displaystyle \cdots\cdots$㉠

만약 $\displaystyle f^{\prime}(0)\ge0$이면 (즉 $\displaystyle f^{\prime}(0)=3-a\ge0$) $\displaystyle \cdots\cdots$㉡

㉠에 의해 구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi6\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 제시문 4에 의해 $\displaystyle f(x)$는 증가한다.

그런데 $\displaystyle f(0)=0$이므로 구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac\pi6\right)$에서 $\displaystyle f(x)>0$이 되어 조건 $\displaystyle \tan3x>ax$를 만족한다.

만약 $\displaystyle f^{\prime}(0)<0$이면 (즉 $\displaystyle f^{\prime}(0)=3-a<0$)

어떤 $\displaystyle b$에 대해 구간 $\displaystyle (0,b)$에서 $\displaystyle f(x)<0$ 즉 $\displaystyle \tan3x<ax$이 되어 조건을 만족하지 않는다.

왜냐하면 $\displaystyle \lim_{x\to\frac\pi6+}f^{\prime}(x)=\infty$인데,Correction. 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi6\right)$ 안에서 사이값 정리를 적용하려면 오른쪽 끝점의 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to\frac\pi6-}f^{\prime}(x)=\infty$를 사용해야 한다. 대학 답안의 우극한 표기 $\displaystyle +$는 이 논증에서는 $\displaystyle -$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)$는 연속함수이고 $\displaystyle f^{\prime}(0)<0$이므로 사이값 정리에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(b)=0$인 $\displaystyle b\in\left(0,\dfrac\pi6\right)$가 존재한다.

그러면 구간 $\displaystyle (0,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 제시문 4에 의해 그 구간에서 $\displaystyle f(x)$는 감소한다.

$\displaystyle f(0)=0$이므로 구간 $\displaystyle (0,b)$에서 $\displaystyle f(x)<0$.

그러므로 ㉡에 의해 $\displaystyle a$의 최댓값은 3