자연계열 1번

광운대 2019학년도 수시 오후 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2019su_pm/jayeon_1

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 두 함수 $\displaystyle f : X \to Y$ , $\displaystyle g : Y \to Z$ 의 합성함수는 $\displaystyle g \circ f : X \to Z$ , $\displaystyle (g \circ f)(x)= g (f(x))$ 이다.

2. 다항식 $\displaystyle P(x)$ 를 $\displaystyle x- \alpha$ 로 나누었을 때의 몫을 $\displaystyle Q(x)$ , 나머지를 $\displaystyle R$ 라고 하면 $\displaystyle P(x)= (x- \alpha ) Q(x) + R$ 가 성립한다.

3. 다항식 $\displaystyle P(x)$ 에 대하여 $\displaystyle P( \alpha ) = 0$ 이면, $\displaystyle P(x)$ 는 일차식 $\displaystyle x- \alpha$ 로 나누어떨어진다.

4. $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 가 문장이나 식일 때, ‘ $\displaystyle p$ 이면 $\displaystyle q$ 이다.’ 꼴의 명제에서 $\displaystyle p$ 를 가정, $\displaystyle q$ 를 결론이라 하 고, 명제 ‘ $\displaystyle p$ 이면 $\displaystyle q$ 이다.’ 를 기호 $\displaystyle p \to q$ 로 나타낸다.

[1] 함수 $\displaystyle f$ 를 다음과 같이 정의할 때, 물음에 답하시오.

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^x&(x\ge0)\\2x+1&(x<0)\end{cases}$

(1) $\displaystyle (f \circ f)(x)$ 를 구하시오. [7점]

(2) 곡선 $\displaystyle y = (f \circ f)(x)$ 와 세 직선 $\displaystyle x = 0$ , $\displaystyle y = 0$ , $\displaystyle y = 1$ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구 하시오. [4점]

[2] 함수 $\displaystyle f(x)= x^{2} -x-3$ 과 $\displaystyle g(x) = x^{2} -x +5$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(단, $\displaystyle [x]$ 는 $\displaystyle x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

(1) 부등식 $\displaystyle \left | 2 [ f(x)] -5 \right |\le [ g(x) ] + 3$ 의 해를 구하시오. [10점]

(2) $\displaystyle 0<a<\sqrt3$ 일 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[g(x)+x]}{[f(x)+x]+5}$ 가 존재하는 $\displaystyle a$ 의 범위를 모두 구하시오. [15점]

[3] 다항식 $\displaystyle P(x)$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 다항식 $\displaystyle P(x)$ 를 $\displaystyle 2x-5$ 로 나누었을 때의 나머지를 $\displaystyle R$ 라고 하자. $\displaystyle (x+1) P(x)$ 를 $\displaystyle 2x-5$ 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. [4점]

(2) 명제 “다항식 $\displaystyle P(x)$ 가 삼차식이면 $\displaystyle P( \alpha ) \ne 0$ 인 $\displaystyle \alpha$ 가 구간 $\displaystyle [0, 3]$ 에 존재한다.” 의 참 또는 거짓을 판정하고, 이를 증명하시오. [10점]

해설강의 준비중

광운대 2019학년도 수시 오후 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2019su_pm/jayeon_1

+2점 ·

\displaystyle x\ge0

일 때

\displaystyle (f\circ f)(x)=f(e^x)=e^{e^x}

를 구했으면

[1] (1) (i) $\displaystyle x\ge0$ 이면 $\displaystyle f(x)=e^x$ 이고 $\displaystyle e^x\ge0$ 이므로 $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(e^x)=e^{e^x}$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle -\dfrac12\le x<0

일 때

\displaystyle (f\circ f)(x)=f(2x+1)=e^{2x+1}

를 구했으면

(ii) $\displaystyle -\dfrac12\le x<0$ 이면 $\displaystyle f(x)=2x+1\ge0$ 이므로 $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(2x+1)=e^{2x+1}$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle x<-\dfrac12

일 때

\displaystyle (f\circ f)(x)=f(2x+1)=4x+3

을 구했으면

(iii) $\displaystyle x<-\dfrac12$ 이면 $\displaystyle f(x)=2x+1<0$ 이므로

$\displaystyle (f\circ f)(x)=f(2x+1)=2(2x+1)+1=4x+3$ 이다.

따라서 $\displaystyle (f\circ f)(x)=\begin{cases}e^{e^x}&(x\ge0)\\e^{2x+1}&\left(-\dfrac12\le x<0\right)\\4x+3&\left(x<-\dfrac12\right)\end{cases}$ 이다.

+4점 · 영역의 넓이

\displaystyle \left(\dfrac12+\dfrac34\right)\times1\times\dfrac12=\dfrac58

을 구했으면

(2) 주어진 영역은 윗변의 길이가 $\displaystyle \dfrac12$ , 아랫변의 길이가 $\displaystyle \dfrac34$ , 높이가 1인 사다리꼴이다.

따라서 영역의 넓이는 $\displaystyle \left(\dfrac12+\dfrac34\right)\times1\times\dfrac12=\dfrac58$ 이다.

+2점 · 부등식

\displaystyle -[x^2-x]-8\le2[x^2-x]-11\le[x^2-x]+8

을 구했으면

[2] (1) $\displaystyle -[g(x)]-3\le2[f(x)]-5\le[g(x)]+3$ 이다.

$\displaystyle [f(x)]=[x^2-x]-3$ 이고 $\displaystyle [g(x)]=[x^2-x]+5$ 이므로

$\displaystyle -[x^2-x]-8\le2[x^2-x]-11\le[x^2-x]+8$ 이다.

따라서 $\displaystyle -[x^2-x]-8\le2[x^2-x]-11$ 이고 $\displaystyle 2[x^2-x]-11\le[x^2-x]+8$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle x\le\dfrac{1-\sqrt5}2

또는

\displaystyle x\ge\dfrac{1+\sqrt5}2

를 구했으면

부등식 $\displaystyle -[x^2-x]-8\le2[x^2-x]-11$ 로부터 $\displaystyle [x^2-x]\ge1$ 이고 $\displaystyle x^2-x\ge1$ 이므로 $\displaystyle x\le\dfrac{1-\sqrt5}2$ 또는 $\displaystyle x\ge\dfrac{1+\sqrt5}2$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle -4<x<5

를 구했으면

부등식 $\displaystyle 2[x^2-x]-11\le[x^2-x]+8$ 로부터 $\displaystyle [x^2-x]\le19$ 이고 $\displaystyle x^2-x<20$ 이므로 $\displaystyle -4<x<5$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle -4<x\le\dfrac{1-\sqrt5}2

또는

\displaystyle \dfrac{1+\sqrt5}2\le x<5

를 구했으면

따라서 부등식의 해는 $\displaystyle -4<x\le\dfrac{1-\sqrt5}2$ 또는 $\displaystyle \dfrac{1+\sqrt5}2\le x<5$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[g(x)+x]}{[f(x)+x]+5}=\lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}

를 구했으면

(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[g(x)+x]}{[f(x)+x]+5}=\lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle 0<a<1

일 때

\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=5

를 구했으면

(i) $\displaystyle 0<a<1$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}[x^2]=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=5$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle a=1

일 때

\displaystyle \lim_{x\to a-}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=5

이고

\displaystyle \lim_{x\to a+}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4

이므로

\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}

이 존재하지 않음을 보였으면

(ii) $\displaystyle a=1$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a-}[x^2]=0$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}[x^2]=1$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to a-}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=5$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}$ 이 존재하지 않는다.

+2점 ·

\displaystyle 1<a<\sqrt2

일 때

\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4

를 구했으면

(iii) $\displaystyle 1<a<\sqrt2$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}[x^2]=1$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle a=\sqrt2

일 때

\displaystyle \lim_{x\to a-}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4

이고

\displaystyle \lim_{x\to a+}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=\dfrac72

이므로

\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}

이 존재하지 않음을 보였으면

(iv) $\displaystyle a=\sqrt2$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a-}[x^2]=1$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}[x^2]=2$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to a-}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=\dfrac72$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}$ 이 존재하지 않는다.

+2점 ·

\displaystyle \sqrt2<a<\sqrt3

일 때

\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=\dfrac72

를 구했으면

(v) $\displaystyle \sqrt2<a<\sqrt3$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}[x^2]=2$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=\dfrac72$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle 0<a<1,~1<a<\sqrt2,~\sqrt2<a<\sqrt3

를 모두 구했으면 (구간 1개에 1점씩)

따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[g(x)+x]}{[f(x)+x]+5}$ 가 존재하는 모든 $\displaystyle a$ 의 범위는 $\displaystyle 0<a<1,~1<a<\sqrt2,~\sqrt2<a<\sqrt3$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle (x+1)P(x)=(2x-5)\left\{(x+1)Q(x)+\dfrac R2\right\}+\dfrac72R

를 구했으면

[3] (1) $\displaystyle P(x)=(2x-5)Q(x)+R$ 인 다항식 $\displaystyle Q(x)$ 가 존재한다.

$\displaystyle (x+1)P(x)=(x+1)(2x-5)Q(x)+(x+1)R=(2x-5)\left\{(x+1)Q(x)+\dfrac R2\right\}+\dfrac72R$ 이므로

+2점 · 나머지

\displaystyle \dfrac72R

를 구했으면

$\displaystyle (x+1)P(x)$ 를 $\displaystyle 2x-5$ 로 나누었을 때의 나머지는 $\displaystyle \dfrac72R$ 이다.

+2점 · “참” 이라는 답을 했으면

(2) 참이다.

+2점 ·

\displaystyle [0,3]

에 속하는 모든

\displaystyle \alpha

에 대하여

\displaystyle P(\alpha)=0

이라고 가정했으면

구간 $\displaystyle [0,3]$ 에 속하는 모든 $\displaystyle \alpha$ 에 대하여 $\displaystyle P(\alpha)=0$ 이라고 가정하면

+2점 ·

\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=0

임을 구했으면 (

\displaystyle [0,3]

에 속하는 서로 다른 실수

\displaystyle a,b,c,d

에 대해서

\displaystyle P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=0

임을 구했으면)

$\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=0$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle P(x)

는

\displaystyle x,x-1,x-2,x-3

으로 나누어떨어진다는 것을 설명하였으면 (

\displaystyle P(x)

는

\displaystyle x-a,x-b,x-c,x-d

로 나누어떨어진다는 것을 설명하였으면)

그러므로 $\displaystyle P(x)$ 는 $\displaystyle x,x-1,x-2,x-3$ 으로 나누어떨어진다.

+2점 ·

\displaystyle P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)

인 다항식

\displaystyle Q(x)

가 존재한다는 것을 설명하였으면 (

\displaystyle P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)

인 다항식

\displaystyle Q(x)

가 존재한다는 것을 설명하였으면)

따라서 $\displaystyle P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)$ 인 다항식 $\displaystyle Q(x)$ 가 존재한다.

이는 다항식 $\displaystyle P(x)$ 가 삼차식이라는 가정에 모순이므로 주어진 명제는 참이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.