자연계열 1번

[1] (1) (i) $\displaystyle x\ge0$이면 $\displaystyle f(x)=e^x$이고 $\displaystyle e^x\ge0$이므로 $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(e^x)=e^{e^x}$이다.

(ii) $\displaystyle -\dfrac12\le x<0$이면 $\displaystyle f(x)=2x+1\ge0$이므로 $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(2x+1)=e^{2x+1}$이다.

(iii) $\displaystyle x<-\dfrac12$이면 $\displaystyle f(x)=2x+1<0$이므로

$\displaystyle (f\circ f)(x)=f(2x+1)=2(2x+1)+1=4x+3$이다.

따라서 $\displaystyle (f\circ f)(x)=\begin{cases}e^{e^x}&(x\ge0)\\e^{2x+1}&\left(-\dfrac12\le x<0\right)\\4x+3&\left(x<-\dfrac12\right)\end{cases}$이다.

(2) 주어진 영역은 윗변의 길이가 $\displaystyle \dfrac12$, 아랫변의 길이가 $\displaystyle \dfrac34$, 높이가 1인 사다리꼴이다.

따라서 영역의 넓이는 $\displaystyle \left(\dfrac12+\dfrac34\right)\times1\times\dfrac12=\dfrac58$이다.

[2] (1) $\displaystyle -[g(x)]-3\le2[f(x)]-5\le[g(x)]+3$이다.

$\displaystyle [f(x)]=[x^2-x]-3$이고 $\displaystyle [g(x)]=[x^2-x]+5$이므로

$\displaystyle -[x^2-x]-8\le2[x^2-x]-11\le[x^2-x]+8$이다.

따라서 $\displaystyle -[x^2-x]-8\le2[x^2-x]-11$이고 $\displaystyle 2[x^2-x]-11\le[x^2-x]+8$이다.

부등식 $\displaystyle -[x^2-x]-8\le2[x^2-x]-11$로부터 $\displaystyle [x^2-x]\ge1$이고 $\displaystyle x^2-x\ge1$이므로 $\displaystyle x\le\dfrac{1-\sqrt5}2$ 또는 $\displaystyle x\ge\dfrac{1+\sqrt5}2$이다.

부등식 $\displaystyle 2[x^2-x]-11\le[x^2-x]+8$로부터 $\displaystyle [x^2-x]\le19$이고 $\displaystyle x^2-x<20$이므로 $\displaystyle -4<x<5$이다.

따라서 부등식의 해는 $\displaystyle -4<x\le\dfrac{1-\sqrt5}2$ 또는 $\displaystyle \dfrac{1+\sqrt5}2\le x<5$이다.

(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[g(x)+x]}{[f(x)+x]+5}=\lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}$이다.

(i) $\displaystyle 0<a<1$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}[x^2]=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=5$이다.

(ii) $\displaystyle a=1$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a-}[x^2]=0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}[x^2]=1$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to a-}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=5$이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}$이 존재하지 않는다.

(iii) $\displaystyle 1<a<\sqrt2$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}[x^2]=1$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4$이다.

(iv) $\displaystyle a=\sqrt2$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a-}[x^2]=1$이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}[x^2]=2$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to a-}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=4$이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=\dfrac72$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}$이 존재하지 않는다.

(v) $\displaystyle \sqrt2<a<\sqrt3$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}[x^2]=2$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[x^2]+10}{[x^2]+2}=\dfrac72$이다.

따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{2[g(x)+x]}{[f(x)+x]+5}$가 존재하는 모든 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 0<a<1,~1<a<\sqrt2,~\sqrt2<a<\sqrt3$이다.

[3] (1) $\displaystyle P(x)=(2x-5)Q(x)+R$인 다항식 $\displaystyle Q(x)$가 존재한다.

$\displaystyle (x+1)P(x)=(x+1)(2x-5)Q(x)+(x+1)R=(2x-5)\left\{(x+1)Q(x)+\dfrac R2\right\}+\dfrac72R$이므로

$\displaystyle (x+1)P(x)$를 $\displaystyle 2x-5$로 나누었을 때의 나머지는 $\displaystyle \dfrac72R$이다.

(2) 참이다.

구간 $\displaystyle [0,3]$에 속하는 모든 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle P(\alpha)=0$이라고 가정하면

$\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=0$이다.

그러므로 $\displaystyle P(x)$는 $\displaystyle x,x-1,x-2,x-3$으로 나누어떨어진다.

따라서 $\displaystyle P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)$인 다항식 $\displaystyle Q(x)$가 존재한다.

이는 다항식 $\displaystyle P(x)$가 삼차식이라는 가정에 모순이므로 주어진 명제는 참이다.