자연계열 2번

[1] $\displaystyle g(x)=\displaystyle\int_1^e(t-x)\left(t-\dfrac xt\right)\ln t\,dt$

$\displaystyle =\left(\int_1^e\dfrac{\ln t}t\,dt\right)x^2-\left(\int_1^e(t+1)\ln t\,dt\right)x+A$이다. $\displaystyle \left(A=\displaystyle\int_1^et^2\ln t\,dt\right)$

2차항의 계수를 계산하면 $\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln t}t\,dt=\int_0^1u\,du=\dfrac12$이다. ($\displaystyle \ln t=u$로 치환)

1차항의 계수를 계산하면

$\displaystyle -\int_1^e(t+1)\ln t\,dt=-\Biggl[\left(\dfrac{t^2}2+t\right)\ln t\Biggr]_1^e+\int_1^e\left(\dfrac t2+1\right)dt=-\dfrac{e^2}2-e+\Biggl[\dfrac{t^2}4+t\Biggr]_1^e=-\dfrac{e^2+5}4$이다.

따라서 $\displaystyle g(x)=\dfrac12x^2-\dfrac{e^2+5}4x+A=\dfrac12\left(x-\dfrac{e^2+5}4\right)^2+A-\dfrac12\left(\dfrac{e^2+5}4\right)^2$이다.

$\displaystyle g(x)$가 최솟값을 가지는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \dfrac{e^2+5}4$이다.

[2] (1) (i)로부터

$\displaystyle \int_{-1}^1(ax^2+bx+c)(px+q)\,dx=\int_{-1}^1\{apx^3+(aq+bp)x^2+(bq+cp)x+cq\}\,dx$

$\displaystyle =\Biggl[\dfrac{ap}4x^4+\dfrac{aq+bp}3x^3+\dfrac{bq+cp}2x^2+cqx\Biggr]_{-1}^1=\dfrac23(aq+bp)+2cq$

$\displaystyle =\dfrac{2b}3p+2\left(\dfrac a3+c\right)q=0$이다. $\displaystyle p,~q$에 대한 항등식이므로 $\displaystyle b=0,~\dfrac a3+c=0$이다.

이로부터 $\displaystyle f(x)=ax^2-\dfrac a3$이다. 이것을 (ii)에 대입하면

$\displaystyle 2f(x)=\int_0^2\{f(x)-3+f(t)\}\,dt=2f(x)-6+\int_0^2\left(at^2-\dfrac a3\right)dt$이다.

$\displaystyle 6=a\left(\dfrac83-\dfrac23\right)=2a$이므로 $\displaystyle a=3$이고 $\displaystyle f(x)=3x^2-1$이다.

(2) $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{3e^{2h}-1-2}h=\lim_{h\to0}3(e^h+1)\dfrac{e^h-1}h=3\lim_{h\to0}(e^h+1)\cdot\lim_{h\to0}\dfrac{e^h-1}h=6$이다.

[3] (1) $\displaystyle f(\alpha)=y$라고 하자.

$\displaystyle f(y)=\dfrac{ye^y+1}{e^y+1}=1$이므로 $\displaystyle e^y(y-1)=0$이다. 따라서 $\displaystyle y=1$이다.

$\displaystyle f(\alpha)=\dfrac{\alpha e^\alpha+1}{e^\alpha+1}=1$이므로 $\displaystyle e^\alpha(\alpha-1)=0$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=1$이다.

(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\dfrac{e^x(x+1)(e^x+1)-(xe^x+1)e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^x(e^x+x)}{(e^x+1)^2}$이다.

$\displaystyle p$에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f^{\prime}(p)=0$이다. 이로부터 $\displaystyle e^p+p=0$이다.

$\displaystyle x<p$이면 $\displaystyle e^x+x<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다.

$\displaystyle x>p$이면 $\displaystyle e^x+x>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다.

따라서 $\displaystyle x=p$에서 극소이다.

(3) $\displaystyle x=1$을 주어진 식에 대입하면 $\displaystyle |ef(1)-a|=|e-a|\le0$이므로 $\displaystyle a=e$이다.

$\displaystyle e|f(x)-1|=e\left|\dfrac{xe^x+1-e^x-1}{e^x+1}\right|=\dfrac{|x-1|e^{x+1}}{e^x+1}\le b|x-1|$

$\displaystyle x=1$이면 $\displaystyle b$는 임의의 실수이고 $\displaystyle \cdots\cdots$㉠

$\displaystyle x\ne1$이면 $\displaystyle \dfrac{e^{x+1}}{e^x+1}\le b$이다.

$\displaystyle g(x)=\dfrac{e^{x+1}}{e^x+1}$라고 하면,

$\displaystyle g^{\prime}(x)=\dfrac{e^{x+1}(e^x+1)-e^{x+1}e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^{x+1}}{(e^x+1)^2}>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가한다.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=e$이므로 $\displaystyle b\ge e$이다. $\displaystyle \cdots\cdots$㉡

㉠과 ㉡으로부터 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 주어진 식을 만족하는 $\displaystyle b$의 최솟값은 $\displaystyle e$이다.