자연계열 1번

[1] (1)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{(2n+1)\ln\left(\dfrac{2n+1}{2n-1}\right)\right\}=\lim_{n\to\infty}\left\{(2n+1)\ln\left(1+\dfrac2{2n-1}\right)\right\}$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\ln\left[\left\{\left(1+\dfrac2{2n-1}\right)^{\frac{2n-1}2}\right\}^2\left(1+\dfrac2{2n-1}\right)^2\right]$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\ln\left\{\left(1+\dfrac2{2n-1}\right)^{\frac{2n-1}2}\right\}^2+\lim_{n\to\infty}\ln\left\{\left(1+\dfrac2{2n-1}\right)^2\right\}=2$

(2)

$\displaystyle b_{n}=-\frac{a_{n}}{2 n+1}=-\frac{1}{2 n+1} \ln \left (1+\frac{2}{2 n-1} \right )$에서 자연수 $\displaystyle n$을 실수 $\displaystyle x$로 치환하여 함수 $\displaystyle f(x)$로 표현하면 $\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2 x+1} \ln \left (1+\frac{2}{2 x-1} \right )$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{(2 x+1)^{2}} \ln \left (1+\frac{2}{2 x-1} \right )+\frac{1}{2 x+1} \times \frac{\frac{4}{(2 x-1)^{2}}}{1+\frac{2}{2 x-1}}$

$\displaystyle x\ge1$에서 $\displaystyle \dfrac2{(2x+1)^2}\ln\left(1+\dfrac2{2x-1}\right)>0$이고 $\displaystyle \dfrac1{2x+1}\times\dfrac{\frac4{(2x-1)^2}}{1+\frac2{2x-1}}>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x \ge 1$에서 증가함수이므로 $\displaystyle f(x)<f(x+1)$이다.

따라서 $\displaystyle f(n)<f(n+1)$이므로 $\displaystyle b_{n}<b_{n+1}$이다.

[2] (1)

$\displaystyle f(0)=f(2 \pi )=0$이고 $\displaystyle 0 \le x \le 2 \pi$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값이 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 a x-2 \pi a=0$인 $\displaystyle x=\pi$에서 $\displaystyle f(x)$는 최댓값을 갖는다.

$\displaystyle f(\pi )=-a \pi ^{2}=1$이므로 $\displaystyle a=-\frac{1}{\pi ^{2}}$

따라서 주어진 방정식은 $\displaystyle -\frac{1}{\pi ^{2}} x^{2}+\frac{2}{\pi } x+| \cos x|=-\frac{x}{\pi }$

$\displaystyle 0 \le x \le 2 \pi$에서 좌변 $\displaystyle f(x)+| \cos x|>0$이고 우변 $\displaystyle -\frac{x}{\pi } \le 0$이므로 실근은 존재하지 않는다.

(2)

$\displaystyle 0 \le x \le 2 \pi$에서 $\displaystyle f(x)=t$로 치환하면 $\displaystyle 0 \le t \le 1$이고 $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(t)$$\displaystyle g(t)=1-\frac{3 p}{t+2 p}$의 그래프의 점근선은 $\displaystyle y=1$과 $\displaystyle t=-2 p$이다.

( i ) $\displaystyle -2 p<0$인 경우, $\displaystyle p>0$

$\displaystyle -3 p<0$이므로 $\displaystyle g(t)$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle 0 \le t \le 1$에서 $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(t)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재한다.

( ii ) $\displaystyle 0<-2 p<1$인 경우, $\displaystyle -\frac{1}{2}<p<0$

$\displaystyle -3 p>0$이므로 $\displaystyle 0 \le t \le 1$에서 $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(t)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재하지 않는다.

( iii ) $\displaystyle 1<-2 p$인 경우 $\displaystyle p<-\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle -3 p>\frac{3}{2}$

$\displaystyle 0 \le t \le 1$에서 $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(t)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재한다.

（i），（ii），（iii）으로부터 $\displaystyle (g \circ f)(x)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재하는 $\displaystyle p$의 범위는 $\displaystyle p<-\frac{1}{2}$또는 $\displaystyle p>0$

[3] (1)

$\displaystyle A= \left\{4 n | n=1,~2,~ \cdots \right\}$이므로 $\displaystyle A \cap B$의 원소는 $\displaystyle B$의 원소 중에서 $\displaystyle 4$의 배수인 자연수이다. $\displaystyle 0,~1,~2,~3,~4,~5,~6$으로 만든 일곱 자리 자연수가 $\displaystyle 4$의 배수인 경우는 끝의 두 자릿수가 각각 $\displaystyle 04,~12,~16,~20,~24,~32,~36,~40,~52,~56,~60,~64$일 때이다.

( i ) 끝의 두 자릿수가 $\displaystyle 0$을 포함하는 경우 $\displaystyle (04,~20,~40,~60)$

앞의 다섯 자리에는 나머지 다섯 개의 숫자를 일렬로 배열하면 되므로

$\displaystyle 5!\times 4=480$

(ii) 끝의 두 자릿수가 $\displaystyle 0$을 포함하지 않는 경우 $\displaystyle (12,~16,~24,~32,~36,~52,~56,~64)$

백만 자리는 나머지 $\displaystyle 5$개의 숫자 중에서 $\displaystyle 0$을 제외한 네 가지가 올 수 있고,

십만, 만, 천, 백의 자리는 이미 사용한 숫자를 제외한 나머지 네 개의 숫자를 일렬로 배열하면 되므로 $\displaystyle 4 \times 4!\times 8=768$

( i ), ( ii )로부터 $\displaystyle n(A \cap B)=480+768=1248$

(2)

집합 $\displaystyle B$의 원소를 큰 수부터 차례로 세어보면 다음과 같다.

$\displaystyle 6 \square \square \square \square \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 6! =720$

$\displaystyle 5 \square \square \square \square \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 6! =720$

따라서 $\displaystyle a_{1000}$은 $\displaystyle 5$로 시작하는 수이다.Correction. [3](2) 예시답안의 $\displaystyle a_{1000}$은 $\displaystyle b_{1000}$의 오기이다. 문제에서는 집합 $\displaystyle B$의 원소를 큰 순서로 $\displaystyle b_1,b_2,\ldots$라 정했다. 구한 값 $\displaystyle b_{1000}=5341206$은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

$\displaystyle 56 \square \square \square \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 5! =120$

$\displaystyle 54 \square \square \square \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 5! =120$

여기까지 모두 $\displaystyle 960$개이므로 $\displaystyle a_{1000}$은 $\displaystyle 53$으로 시작하는 수이다.

$\displaystyle 536 \square \square \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 4! =24$

여기까지가 모두 $\displaystyle 984$개이므로 $\displaystyle a_{1000}$은 $\displaystyle 534$로 시작하는 수이다.

$\displaystyle 5346 \square \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 3! =6$

$\displaystyle 5342 \square \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 3! =6$

여기까지가 모두 $\displaystyle 996$개이므로 $\displaystyle a_{1000}$은 $\displaystyle 5341$로 시작하는 수이다.

$\displaystyle 53416 \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 2! =2$

$\displaystyle 53412 \square \square$형태의 자연수의 개수는 $\displaystyle 2! =2$

여기까지가 모두 $\displaystyle 1000$개이므로 $\displaystyle a_{1000}$은 $\displaystyle 53412 \square \square$형태에서 나머지 $\displaystyle 0,~6$로 만들 수 있는 가장 작은 수이다. 따라서 $\displaystyle a_{1000}=5341206$