자연계열 1번

[1]

(1) $\displaystyle f(x)= \log _{k} x$이므로 $\displaystyle f \left (x^{2} \right )= \log _{k} x^{2}=2 \log _{k} x$이다.

따라서 $\displaystyle A_{n}= \left (k^{n},~ n \right )$이고 $\displaystyle B_{n}= \left (k^{n},~ 2 n \right )$이다.

또한 $\displaystyle A_{n^{2}}= \left (k^{n^{2}},~ n^{2} \right )$이고 $\displaystyle B_{n^{2}}= \left (k^{n^{2}},~ 2 n^{2} \right )$이므로 $\displaystyle a_{n}=n$이고 $\displaystyle a_{n^{2}}=n^{2}$이다.

그러므로 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } \frac{a_{n}}{a_{n^{2}}}=\lim _{n \to \infty } \frac{n}{n^{2}}=\lim _{n \to \infty } \frac{1}{n}=0$이다.

(2) $\displaystyle f \left (m_{1} \right )+f \left (m_{2} \right )+ \cdots +f \left (m_{10} \right )= \log _{k} m_{1}+ \log _{k} m_{2}+ \cdots + \log _{k} m_{10}= \log _{k} \left (m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )$이고 $\displaystyle f \left (t^{2}+3 t+4 \right )= \log _{k} \left (t^{2}+3 t+4 \right )$이다.

따라서 $\displaystyle \log _{k} \left (m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )= \log _{k} \left (t^{2}+3 t+4 \right )$이므로 $\displaystyle m_{1} m_{2} \cdots m_{10}=t^{2}+3 t+4$이고 $\displaystyle t^{2}+3 t+4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10}=0$이다.

그러므로 $\displaystyle t=\frac{-3 \pm \sqrt {9-4 \left (4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )}}{2}$이다.

그런데 $\displaystyle m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \ge 125$이므로 $\displaystyle 9-4 \left (4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )=-7+4 m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \ge 493$이다.

따라서 방정식 $\displaystyle t^{2}+3 t+4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10}=0$의 판별식이 양수이고 $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle t^{2}+3 t+4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10}<0$이므로 주어진 방정식의 양의 실근은 $\displaystyle 1$개다.

(3) 모든 실수 $\displaystyle a$에 대하여

$\displaystyle g^{10}(a)=g^{9}(g(a))=g^{9}(a+1)=g^{8}((a+1)+1)=g^{8}(a+2)= \cdots =a+10$이다.

따라서 $\displaystyle g^{10}(a)=a+10$이다.

$\displaystyle g^{10}(x)$는 일대일함수임을 증명하기 위해서 실수 $\displaystyle a,~ b$에 대하여 $\displaystyle g^{10}(a)=g^{10}(b)$이라고 가정하자. 그러면 $\displaystyle a+10=b+10$이므로 $\displaystyle a=b$이다.

따라서 $\displaystyle g^{10}(x)$는 일대일함수이다.

(4) (3)에서 모든 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle g^{10}(a)=a+10$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}(g^{10}\circ f)(k)+(g^{10}\circ f)(k^2)+\cdots+(g^{10}\circ f)(k^{100})&=\{f(k)+10\}+\{f(k^2)+10\}+\cdots+\{f(k^{100})+10\}\end{aligned}$

$\displaystyle =(1+10)+(2+10)+\cdots+(100+10)$

$\displaystyle =(1+2+\cdots+100)+10\times100=6050$이다. 따라서

$\displaystyle \left (g^{10} \circ f \right )(k)+ \left (g^{10} \circ f \right ) \left (k^{2} \right )+ \cdots + \left (g^{10} \circ f \right ) \left (k^{100} \right )=6050$

[2]

$\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,~ a+1]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,~ a+1)$에서 미분가능하다.

따라서 평균값정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f(a+1)-f(a)}{a+1-a}=f^{\prime}(t)$를 만족시키는 실수 $\displaystyle t$가 열린구간 $\displaystyle (a,~ a+1)$에 존재한다. 그러므로 $\displaystyle f(a+1)-f(a)=f^{\prime}(t)$를 만족시키는 실수 $\displaystyle t$가 열린구간 $\displaystyle (a,~ a+1)$에 존재한다.

그런데 $\displaystyle f(a+1)-f(a)= \sin \left (a^{2}+a-1 \right )- \sin \left (a^{2}-1 \right ),~ ~ f^{\prime}(t)=a \cos (a t-1)$

이므로 등식 $\displaystyle \sin \left (a^{2}+a-1 \right )- \sin \left (a^{2}-1 \right )=a \cos (a t-1)$을 만족시키는 실수 $\displaystyle t$가 열린구간 $\displaystyle (a,~ a+1)$에 존재한다.