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자연계열 1번

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광운대 2024학년도 수시 2교시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2024su_2/jayeon_1

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문제

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 로그함수 y=log⁡ax (a>0, a≠1)\displaystyle y= \log _{a} x ~(a>0,~ a \ne 1)는

① a>1\displaystyle a>1일 때 x\displaystyle x의 값이 커지면 y\displaystyle y의 값도 커진다.

② 0<a<1\displaystyle 0<a<1일 때 x\displaystyle x의 값이 커지면 y\displaystyle y의 값은 작아진다.

2. 함수 f:X→Y\displaystyle f: X \to Y에서 정의역 X\displaystyle X의 두 원소 x1, x2\displaystyle x_{1},~ x_{2}에 대하여 x1≠x2\displaystyle x_{1} \ne x_{2}이면 f(x1)≠f(x2)\displaystyle f \left (x_{1} \right ) \ne f \left (x_{2} \right )일 때, 함수 f\displaystyle f를 일대일함수라고 한다.

3. 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f1(x)=f(x), fn+1(x)=(f∘fn)(x)\displaystyle f^{1}(x)=f(x),~ f^{n+1}(x)= \left (f \circ f^{n} \right )(x)( n\displaystyle n은 자연수)이다.

[1] 두 함수 f(x)=log⁡kx, g(x)=x+1\displaystyle f(x)= \log _{k} x,~ g(x)=x+1에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, k>1\displaystyle k>1)

(1) 두 곡선 y=f(x), y=f(x2)\displaystyle y=f(x),~ y=f \left (x^{2} \right )과 직선 x=kn\displaystyle x=k^{n}이 만나는 점을 각각 An,  Bn\displaystyle \mathrm{A}_{n},~ \mathrm{~B}_{n}이라고 하고 선분 An Bn\displaystyle \mathrm{A}_{n} \mathrm{~B}_{n}의 길이를 an\displaystyle a_{n}이라고 할 때, 극한값 lim⁡n→∞anan2\displaystyle \lim _{n \to \infty } \frac{a_{n}}{a_{n^{2}}}을 구하시오. (단, n\displaystyle n은 자연수) [8점]

(2) m1, m2, ⋯ , m10\displaystyle m_{1},~ m_{2},~ \cdots ,~ m_{10}은 1\displaystyle 1이 아닌 510\displaystyle 5^{10}의 서로 다른 약수들이라고 할 때, t\displaystyle t에 대한 다음 방정식의 양의 실근의 개수를 구하시오. [12점]

f(m1)+f(m2)+⋯+f(m10)=f(t2+3t+4)\displaystyle f \left (m_{1} \right )+f \left (m_{2} \right )+ \cdots +f \left (m_{10} \right )=f \left (t^{2}+3 t+4 \right )

(3) 함수 g10(x)\displaystyle g^{10}(x)가 일대일함수임을 증명하시오. [10점]

(4) 합성함수 (g10∘f)(x)\displaystyle \left (g^{10} \circ f \right )(x)에 대하여 다음의 값을 구하시오. [10점]

(g10∘f)(k)+(g10∘f)(k2)+⋯+(g10∘f)(k100)\displaystyle \left (g^{10} \circ f \right )(k)+ \left (g^{10} \circ f \right ) \left (k^{2} \right )+ \cdots + \left (g^{10} \circ f \right ) \left (k^{100} \right )

[2] a\displaystyle a가 0\displaystyle 0이 아닌 실수일 때, 함수 f(x)=sin⁡(ax−1)\displaystyle f(x)= \sin (a x-1)을 이용하여 다음 등식을 만족시키는 실수 t\displaystyle t가 열린구간 (a, a+1)\displaystyle (a,~ a+1)에 존재함을 증명하시오. [10점]

sin⁡(a2+a−1)−sin⁡(a2−1)=acos⁡(at−1)\displaystyle \sin \left (a^{2}+a-1 \right )- \sin \left (a^{2}-1 \right )=a \cos (a t-1)

해설강의 준비중

광운대 2024학년도 수시 2교시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2024su_2/jayeon_1

+2점 · An=(kn,n)\displaystyle A_n=(k^n,n)과 Bn=(kn,2n)\displaystyle B_n=(k^n,2n)을 구했으면

[1]

(1) f(x)=log⁡kx\displaystyle f(x)= \log _{k} x이므로 f(x2)=log⁡kx2=2log⁡kx\displaystyle f \left (x^{2} \right )= \log _{k} x^{2}=2 \log _{k} x이다.

따라서 An=(kn, n)\displaystyle A_{n}= \left (k^{n},~ n \right )이고 Bn=(kn, 2n)\displaystyle B_{n}= \left (k^{n},~ 2 n \right )이다.

+2점 · An2=(kn2,n2)\displaystyle A_{n^2}=(k^{n^2},n^2)과 Bn2=(kn2,2n2)\displaystyle B_{n^2}=(k^{n^2},2n^2)을 구했으면

또한 An2=(kn2, n2)\displaystyle A_{n^{2}}= \left (k^{n^{2}},~ n^{2} \right )이고 Bn2=(kn2, 2n2)\displaystyle B_{n^{2}}= \left (k^{n^{2}},~ 2 n^{2} \right )

+2점 · an=n\displaystyle a_n=n과 an2=n2\displaystyle a_{n^2}=n^2을 구했으면

이므로 an=n\displaystyle a_{n}=n이고 an2=n2\displaystyle a_{n^{2}}=n^{2}이다.

+2점 · lim⁡n→∞anan2=lim⁡n→∞nn2=lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac n{n^2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0을 구했으면

그러므로 lim⁡n→∞anan2=lim⁡n→∞nn2=lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim _{n \to \infty } \frac{a_{n}}{a_{n^{2}}}=\lim _{n \to \infty } \frac{n}{n^{2}}=\lim _{n \to \infty } \frac{1}{n}=0이다.

+2점 · f(m1)+f(m2)+⋯+f(m10)=log⁡k(m1m2⋯m10)\displaystyle f(m_1)+f(m_2)+\cdots+f(m_{10})=\log_k(m_1m_2\cdots m_{10})을 구했으면

(2) f(m1)+f(m2)+⋯+f(m10)=log⁡km1+log⁡km2+⋯+log⁡km10=log⁡k(m1m2⋯m10)\displaystyle f \left (m_{1} \right )+f \left (m_{2} \right )+ \cdots +f \left (m_{10} \right )= \log _{k} m_{1}+ \log _{k} m_{2}+ \cdots + \log _{k} m_{10}= \log _{k} \left (m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )이고 f(t2+3t+4)=log⁡k(t2+3t+4)\displaystyle f \left (t^{2}+3 t+4 \right )= \log _{k} \left (t^{2}+3 t+4 \right )이다.

+4점 · m1m2⋯m10=t2+3t+4\displaystyle m_1m_2\cdots m_{10}=t^2+3t+4 또는 t2+3t+4−m1m2⋯m10=0\displaystyle t^2+3t+4-m_1m_2\cdots m_{10}=0을 구했으면

따라서 log⁡k(m1m2⋯m10)=log⁡k(t2+3t+4)\displaystyle \log _{k} \left (m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )= \log _{k} \left (t^{2}+3 t+4 \right )이므로 m1m2⋯m10=t2+3t+4\displaystyle m_{1} m_{2} \cdots m_{10}=t^{2}+3 t+4이고 t2+3t+4−m1m2⋯m10=0\displaystyle t^{2}+3 t+4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10}=0이다.

+2점 · t=−3±9−4(4−m1m2⋯m10)2\displaystyle t=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-4(4-m_1m_2\cdots m_{10})}}2을 구했으면

그러므로 t=−3±9−4(4−m1m2⋯m10)2\displaystyle t=\frac{-3 \pm \sqrt {9-4 \left (4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )}}{2}이다.

+2점 · 9−4(4−m1m2⋯m10)=−7+4m1m2⋯m10≥493\displaystyle 9-4(4-m_1m_2\cdots m_{10})=-7+4m_1m_2\cdots m_{10}\ge493을 구했으면

그런데 m1m2⋯m10≥125\displaystyle m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \ge 125이므로 9−4(4−m1m2⋯m10)=−7+4m1m2⋯m10≥493\displaystyle 9-4 \left (4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \right )=-7+4 m_{1} m_{2} \cdots m_{10} \ge 493이다.

+2점 · t=0\displaystyle t=0일 때 t2+3t+4−m1m2⋯m10<0\displaystyle t^2+3t+4-m_1m_2\cdots m_{10}<0이므로 주어진 방정식의 양의 실근은 1개라는 설명을 했으면

따라서 방정식 t2+3t+4−m1m2⋯m10=0\displaystyle t^{2}+3 t+4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10}=0의 판별식이 양수이고 t=0\displaystyle t=0일 때 t2+3t+4−m1m2⋯m10<0\displaystyle t^{2}+3 t+4-m_{1} m_{2} \cdots m_{10}<0이므로 주어진 방정식의 양의 실근은 1\displaystyle 1개다.

+5점 · g10(a)=g9(g(a))=g9(a+1)=g8((a+1)+1)=g8(a+2)=⋯=a+10\displaystyle g^{10}(a)=g^9(g(a))=g^9(a+1)=g^8((a+1)+1)=g^8(a+2)=\cdots=a+10과정을 통해서 g10(a)=a+10\displaystyle g^{10}(a)=a+10을 구했으면 (위의 과정이 없이 g10(a)=a+10\displaystyle g^{10}(a)=a+10을 구했으면 3점 감점)

(3) 모든 실수 a\displaystyle a에 대하여

g10(a)=g9(g(a))=g9(a+1)=g8((a+1)+1)=g8(a+2)=⋯=a+10\displaystyle g^{10}(a)=g^{9}(g(a))=g^{9}(a+1)=g^{8}((a+1)+1)=g^{8}(a+2)= \cdots =a+10이다.

따라서 g10(a)=a+10\displaystyle g^{10}(a)=a+10이다.

+5점 · g10(a)=g10(b)\displaystyle g^{10}(a)=g^{10}(b)이라고 가정하고 a=b\displaystyle a=b임을 보이면 (또는, a≠b\displaystyle a\ne b이라고 가정하고 g10(a)≠g10(b)\displaystyle g^{10}(a)\ne g^{10}(b)임을 보이면)

g10(x)\displaystyle g^{10}(x)는 일대일함수임을 증명하기 위해서 실수 a, b\displaystyle a,~ b에 대하여 g10(a)=g10(b)\displaystyle g^{10}(a)=g^{10}(b)이라고 가정하자. 그러면 a+10=b+10\displaystyle a+10=b+10이므로 a=b\displaystyle a=b이다.

따라서 g10(x)\displaystyle g^{10}(x)는 일대일함수이다.

+4점 · (g10∘f)(k)+(g10∘f)(k2)+⋯+(g10∘f)(k100)={f(k)+10}+{f(k2)+10}+⋯+{f(k100)+10}\displaystyle (g^{10}\circ f)(k)+(g^{10}\circ f)(k^2)+\cdots+(g^{10}\circ f)(k^{100})=\{f(k)+10\}+\{f(k^2)+10\}+\cdots+\{f(k^{100})+10\}을 구했으면

(4) (3)에서 모든 실수 a\displaystyle a에 대하여 g10(a)=a+10\displaystyle g^{10}(a)=a+10이므로

(g10∘f)(k)+(g10∘f)(k2)+⋯+(g10∘f)(k100)={f(k)+10}+{f(k2)+10}+⋯+{f(k100)+10}\displaystyle \begin{aligned}(g^{10}\circ f)(k)+(g^{10}\circ f)(k^2)+\cdots+(g^{10}\circ f)(k^{100})&=\{f(k)+10\}+\{f(k^2)+10\}+\cdots+\{f(k^{100})+10\}\end{aligned}

+3점 · (g10∘f)(k)+(g10∘f)(k2)+⋯+(g10∘f)(k100)=(1+10)+(2+10)+⋯+(100+10)\displaystyle (g^{10}\circ f)(k)+(g^{10}\circ f)(k^2)+\cdots+(g^{10}\circ f)(k^{100})=(1+10)+(2+10)+\cdots+(100+10)을 구했으면

=(1+10)+(2+10)+⋯+(100+10)\displaystyle =(1+10)+(2+10)+\cdots+(100+10)

+3점 · (g10∘f)(k)+(g10∘f)(k2)+⋯+(g10∘f)(k100)=6050\displaystyle (g^{10}\circ f)(k)+(g^{10}\circ f)(k^2)+\cdots+(g^{10}\circ f)(k^{100})=6050을 구했으면

=(1+2+⋯+100)+10×100=6050\displaystyle =(1+2+\cdots+100)+10\times100=6050이다. 따라서

(g10∘f)(k)+(g10∘f)(k2)+⋯+(g10∘f)(k100)=6050\displaystyle \left (g^{10} \circ f \right )(k)+ \left (g^{10} \circ f \right ) \left (k^{2} \right )+ \cdots + \left (g^{10} \circ f \right ) \left (k^{100} \right )=6050

+3점 · “f(x)\displaystyle f(x)는 구간 [a,a+1]\displaystyle [a,a+1]에서 연속이고 구간 (a,a+1)\displaystyle (a,a+1)에서 미분가능하다”를 설명했으면

[2]

f(x)\displaystyle f(x)는 닫힌구간 [a, a+1]\displaystyle [a,~ a+1]에서 연속이고 열린구간 (a, a+1)\displaystyle (a,~ a+1)에서 미분가능하다.

+3점 · “f(a+1)−f(a)=f′(t)\displaystyle f(a+1)-f(a)=f^{\prime}(t)를 만족시키는 실수 t\displaystyle t가 열린구간 (a,a+1)\displaystyle (a,a+1)에 존재한다”를 설명했으면

따라서 평균값정리에 의하여 f(a+1)−f(a)a+1−a=f′(t)\displaystyle \frac{f(a+1)-f(a)}{a+1-a}=f^{\prime}(t)를 만족시키는 실수 t\displaystyle t가 열린구간 (a, a+1)\displaystyle (a,~ a+1)에 존재한다. 그러므로 f(a+1)−f(a)=f′(t)\displaystyle f(a+1)-f(a)=f^{\prime}(t)를 만족시키는 실수 t\displaystyle t가 열린구간 (a, a+1)\displaystyle (a,~ a+1)에 존재한다.

+2점 · f(a+1)−f(a)=sin⁡(a2+a−1)−sin⁡(a2−1)\displaystyle f(a+1)-f(a)=\sin(a^2+a-1)-\sin(a^2-1)을 구했으면
+2점 · f′(t)=acos⁡(at−1)\displaystyle f^{\prime}(t)=a\cos(at-1)을 구했으면

그런데 f(a+1)−f(a)=sin⁡(a2+a−1)−sin⁡(a2−1),  f′(t)=acos⁡(at−1)\displaystyle f(a+1)-f(a)= \sin \left (a^{2}+a-1 \right )- \sin \left (a^{2}-1 \right ),~ ~ f^{\prime}(t)=a \cos (a t-1)

이므로 등식 sin⁡(a2+a−1)−sin⁡(a2−1)=acos⁡(at−1)\displaystyle \sin \left (a^{2}+a-1 \right )- \sin \left (a^{2}-1 \right )=a \cos (a t-1)을 만족시키는 실수 t\displaystyle t가 열린구간 (a, a+1)\displaystyle (a,~ a+1)에 존재한다.

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