자연계열 2번

[1] $\displaystyle f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\ (m\ge 3)$으로 놓으면 조건 (나)에 의하여$\displaystyle f(3x)-f(x)=\left(3^{m}-1\right)a_{m}x^{m}+\cdots+\left(3^{3}-1\right)a_{3}x^{3}+\cdots+\left(3^{1}-1\right)a_{1}x=x^{3}$

항등식의 성질에 의하여 $\displaystyle \left(3^{3}-1\right)a_{3}=1$, $\displaystyle \left(3^{k}-1\right)a_{k}=0\ (1\le k\le m,\ k\neq 3)$이므로$\displaystyle a_{3}=\frac{1}{26},\quad a_{k}=0\ (1\le k\le m,\ k\neq 3)$그러므로 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{26}x^{3}+a_{0}$

조건 (가)로부터 $\displaystyle a_{0}=f(0)=1$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{26}x^{3}+1$

[2] 귀류법으로 방정식 $\displaystyle 8x^{3}-6x+1=0$의 실근 $\displaystyle x$가 유리수가 아님을 증명하자.$\displaystyle x$가 유리수라고 가정하면, $\displaystyle x=\frac{a}{b}\ (b\neq 0,\ a,b$는 서로소인 정수$\displaystyle )$로 쓸 수 있다.

방정식에 대입하여 정리하면 $\displaystyle b^{3}=2\left(3ab^{2}-4a^{3}\right)\ \cdots\cdots\ \text{㉠}$$\displaystyle b$는 짝수이므로 정수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle b=2k$이고, $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 서로소이므로 $\displaystyle a$는 홀수이다.

$\displaystyle b=2k$를 식 ㉠에 대입하면 $\displaystyle a^{3}=3ak^{2}-k^{3}=k^{2}(3a-k)\ \cdots\cdots\ \text{㉡}$식 ㉡에서 $\displaystyle k$가 홀수이면 $\displaystyle 3a-k$는 짝수이고 $\displaystyle k$가 짝수이면 $\displaystyle k^{2}$이 짝수이므로 $\displaystyle k^{2}(3a-k)$는 짝수이다.

$\displaystyle a^{3}$은 짝수이므로 $\displaystyle a$도 짝수이며, 이것은 $\displaystyle a$가 홀수임에 모순이다.따라서 주어진 방정식의 실근은 유리수가 아니다.

[3] (1) $\displaystyle 1-x^{8}=\left(1+x^{2}\right)\left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}\right)$이므로

$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1-x^{8}}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}\right)dx=\Biggl[x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}\Biggr]_{0}^{1}$

$\displaystyle =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{76}{105}$

(2) 정적분 $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx$를 구하기 위하여 $\displaystyle x=\tan\theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$로 놓으면$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sec^{2}\theta$이고, $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle \theta=0$, $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$이므로

$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sec^{2}\theta}{\sec^{2}\theta}d\theta=\frac{\pi}{4}$

따라서 $\displaystyle \left|I-\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx\right|=\left|\frac{76}{105}-\frac{\pi}{4}\right|\le\frac{1}{9}$

[4] (1) $\displaystyle n^{n+1}$과 $\displaystyle (n+1)^{n}$의 자연로그를 $\displaystyle n(n+1)$로 각각 나누면 $\displaystyle \frac{\ln n}{n}$과 $\displaystyle \frac{\ln(n+1)}{n+1}$이다.$\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이면 $\displaystyle x=e$이다.$\displaystyle x>e$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.

따라서 $\displaystyle n\ge 3>e$이면 $\displaystyle \frac{\ln n}{n}>\frac{\ln(n+1)}{n+1}$이고,

$\displaystyle n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}}$이므로 $\displaystyle n^{n+1}>(n+1)^{n}$

(2) $\displaystyle g(x)=\frac{f(x+1)}{x+1}=\frac{\ln(x+1)}{(x+1)^{2}}$이므로 $\displaystyle x\ge 0$에서 $\displaystyle g(x)\ge 0$도형의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\int_{0}^{e^{2}-1}\left|g(x)\right|dx=\int_{0}^{e^{2}-1}\frac{\ln(x+1)}{(x+1)^{2}}dx$

$\displaystyle t=\ln(x+1)$로 놓으면 $\displaystyle dt=\frac{1}{x+1}dx$이고 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=0$, $\displaystyle x=e^{2}-1$일 때 $\displaystyle t=2$이므로$\displaystyle \int_{0}^{e^{2}-1}\frac{\ln(x+1)}{(x+1)^{2}}dx=\int_{0}^{2} te^{-t}dt$

$\displaystyle \int_{0}^{2} te^{-t}dt=\Biggl[-te^{-t}\Biggr]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}\left(-e^{-t}\right)dt=\Biggl[-te^{-t}-e^{-t}\Biggr]_{0}^{2}=1-\frac{3}{e^{2}}$

따라서 도형의 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S=1-\frac{3}{e^{2}}$