자연계열 2번

[1]

$\displaystyle f(x)=e^{2 x} \cos \pi x$라고 하자.

$\displaystyle f(x)$는 모든 실수에서 미분가능한 함수이며 $\displaystyle f(0)=1$이므로

$\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac{1}{x} \left (e^{2 x} \cos \pi x-1 \right )=\lim _{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$이다 .

또한 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 e^{2 x} \cos \pi x-\pi e^{2 x} \sin \pi x,~ f^{\prime}(0)=2$이다.

따라서 $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac{ \ln (1+x)}{x} \cdot \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \to 0} \ln (1+x)^{\frac{1}{x}} \times \lim _{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \ln e \times f^{\prime}(0)=2$

[2]

모평균이 $\displaystyle p$, 모표준편차가 $\displaystyle q$이고 표본의 크기가 $\displaystyle n^{2}$이므로

$\displaystyle \mathrm{E}( \bar{X})=p,~ \mathrm{~V}( \bar{X})=\frac{q^{2}}{n^{2}}$

$\displaystyle \mathrm{E}(4 \bar{X}+2)+\mathrm{V}(n \bar{X}+3)=18$에서 $\displaystyle \mathrm{E}(4 \bar{X}+2)+\mathrm{V}(n \bar{X}+3)=4 \mathrm{E}( \bar{X})+2+n^{2} \mathrm{~V}( \bar{X})=4 p+2+q^{2}=18$

$\displaystyle 4p + q ^{2} = 16$를 만족하는 두 자연수는 $\displaystyle p=3$, $\displaystyle q=2$

[3]

(1) ( i ) $\displaystyle n=1$일 때

(좌변)$\displaystyle =x-1$, (우변)$\displaystyle =x-1$이므로 등식이 성립한다.

( ii) $\displaystyle n=k$일 때 등식이 성립한다고 가정하자.

$\displaystyle n=k+1$일 때

$\displaystyle \begin{aligned}x^{k+1}-1&=x^{k+1}-x^k+x^k-1\\&=x^k(x-1)+(x-1)\sum_{i=0}^{k-1}x^i\\&=(x-1)\left(x^k+\sum_{i=0}^{k-1}x^i\right)=(x-1)\sum_{i=0}^kx^i\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때도 등식이 성립한다.

( i), (ii)로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 등식이 성립한다.

(2) $\displaystyle x^{4}-1=(x-1) \left (x^{3}+x^{2}+x+1 \right )$

$\displaystyle x ^{4} =t$로 놓으면

$\displaystyle x^{2024}-1= \left (x^{4} \right )^{506}-1=t^{506}-1=(t-1) \left (t^{505}+t^{504}+ \cdots +t+1 \right )$이므로

$\displaystyle x^{2024}= \left (x^{3}+x^{2}+x+1 \right ) \left\{(x-1) \left (x^{2020}+x^{2016}+ \cdots +x^{4}+1 \right ) \right\}+1$

따라서 $\displaystyle x^{2024}$을 다항식 $\displaystyle x^{3}+x^{2}+x+1$로 나누었을 때의 나머지는 $\displaystyle 1$이다.

[4]

(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 \sin x \cos x e^{ \sin ^{2} x}+2 \cos x \sin x e^{ \cos ^{2} x}=2 \sin x \cos x \left (e^{ \sin ^{2} x}+e^{ \cos ^{2} x} \right )$$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$으로부터 $\displaystyle x=0,~ \frac{\pi }{2},~ \pi ,~ \frac{3 \pi }{2},~ 2 \pi$를 얻고 이를 이용하여 함수의 증가와 감소를 나타내는 표를 작성하면 아래와 같다.

따라서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(0)=f(\pi )=f(2 \pi )=1-e$이고 최댓값은 $\displaystyle f \left (\frac{\pi }{2} \right )=f \left (\frac{3 \pi }{2} \right )=e-1$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} f(x) \sin 2 x d x=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \sin ^{2} x} d x-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \cos ^{2} x} d x \cdots \cdots$(1)

①식의 항 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \sin ^{2} x} d x$에서

$\displaystyle \sin x=t$로 놓으면 $\displaystyle \cos x=\frac{d t}{d x}$이고, $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=0,~ x=\frac{\pi }{4}$일 때 $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt {2}}$이므로 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \sin ^{2} x} d x=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt {2}}} 2 t e^{t^{2}} d t$

$\displaystyle t^{2}=p$로 놓으면 $\displaystyle 2 t=\frac{d p}{d t}$이고, $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle p=0,~ t=\frac{1}{\sqrt {2}}$일 때 $\displaystyle p=\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \sin ^{2} x} d x=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt {2}}} 2 t e^{t^{2}} d t=\int_{0}^{\frac{1}{2}} e^{p} d p=\sqrt {e}-1$ ⋯⋯㉠

①식의 항 $\displaystyle -\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \cos ^{2} x} d x$에서

$\displaystyle \cos x=t$로 놓으면 $\displaystyle - \sin x=\frac{d t}{d x}$이고, $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=1,~ x=\frac{\pi }{4}$일 때 $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt {2}}$이므로

$\displaystyle -\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \cos ^{2} x} d x=\int_{1}^{\frac{1}{\sqrt {2}}} 2 t e^{t^{2}} d t$

$\displaystyle t^{2}=p$로 놓으면 $\displaystyle 2 t=\frac{d p}{d t}$이고, $\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle p=1,~ t=\frac{1}{\sqrt {2}}$일 때 $\displaystyle p=\frac{1}{2}$이므로

$\displaystyle -\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \cos ^{2} x} d x=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt {2}}} 2 t e^{t^{2}} d t=\int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{p} d p=\sqrt {e}-e$ ⋯⋯㉡Correction. 예시답안 마지막 계산 줄에서 두 번째 치환적분의 아래끝 $\displaystyle 0$은 $\displaystyle 1$의 오기이다. $\displaystyle t=\cos x$이므로 $\displaystyle x=0$은 $\displaystyle t=1$에 대응한다.$\displaystyle \int_1^{1/\sqrt2}2te^{t^2}\,dt=\int_1^{1/2}e^p\,dp=\sqrt e-e$이어지는 계산과 최종 답은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

㉠, ㉡으로부터

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} f(x) \sin 2 x d x=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \sin ^{2} x} d x-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} 2 \sin x \cos x e^{ \cos ^{2} x} d x=2 \sqrt {e}-1-e$