자연계열 1번

① 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 외접원은 세점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,~0),~ \mathrm{A}(8,~0),~ \mathrm{B}(0,~6)$을 지나고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 가 직각삼각형이기 때문에 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 는 외접원의 지름이다. 따라서, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 중점의 좌표가 외접원의 중심(외심)의 좌표이다. 따라서, 외접원의 중심(외심)의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{8+0}{2},~ \frac{0+6}{2} \right )=(4,~3)$이다. 외접원의 반지름은 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 길이의 반이기 때문에, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{2}=\frac{\sqrt {(8-0)^{2}+(0-4)^{2}}}{2}=\frac{10}{2}=5$이다.Correction. 반지름을 구하는 거리식의 $\displaystyle (0-4)^2$는 $\displaystyle (0-6)^2$의 오기이다. 점 $\displaystyle B$의 좌표는 $\displaystyle (0,6)$이다.$\displaystyle \frac{\overline{AB}}2=\frac{\sqrt{(8-0)^2+(0-6)^2}}2=5$뒤의 반지름과 원의 방정식은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

그러므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 외접원의 방정식은 $\displaystyle (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}$이다. 이를 전개하면, $\displaystyle x^{2}+y^{2}-8 x-6 y=0$이다.

② 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(8,~0),~ \mathrm{B}(0,~6)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-0=\frac{0-6}{8-0}(x-8)$이기 때문에, $\displaystyle y=-\frac{3}{4} x+6$이다. 이를 정리하면, $\displaystyle 3 x+4 y=24$또는 $\displaystyle 3 x+4 y-24=0$이다.

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 내접원은 서로 수직인 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 동시에 접한다. 따라서, 내접원의 반지름을 $\displaystyle r$이라고 하면, 내접원의 중심(내심)의 좌표는 $\displaystyle (r,~ r)$이기 때문에 내접원의 방정식은 $\displaystyle (x-r)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이다.

내접원은 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(8,~0),~ \mathrm{B}(0,~6)$을 지나는 직선에 접하기 때문에, 내접원의 중심(내심) $\displaystyle (r,~ r)$에서 이 직선까지의 거리는 $\displaystyle \frac{|3 r+4 r-24|}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=r$이다. $\displaystyle |7 r-24|=5 r$이므로, 양변을 제곱하여 전개하면, $\displaystyle \left\{7 r-24 \right\}^{2}=49 r^{2}-336 r+576=25 r^{2}$이다. 이를 정리하면, $\displaystyle 24 r^{2}-336 r+576=0$이기 때문에, $\displaystyle r^{2}-14 r+24=(r-2)(r-12)=0$이다. $\displaystyle r<6$이기 때문에, $\displaystyle r=2$이다.

그러므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 내접원의 방정식은 $\displaystyle (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}$이다. 이를 전개하면, $\displaystyle x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+4=0$이다.

(2)

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 외심 $\displaystyle (4,~3)$와 내심 $\displaystyle (2,~2)$을 지나는 직선의 방정식을 구하면, $\displaystyle y-2=\frac{3-2}{4-2}(x-2)$이기 때문에, $\displaystyle y=\frac{1}{2} x+1$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 외접원 위의 점과 내접원 위의 점 사이의 거리의 최솟값과 최댓값은 이 직선과 외접원 및 내접원이 만나는 교점 사이의 거리를 이용하여 찾을 수 있다.

이 직선과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 외접원과 만나는 두 교점 $\displaystyle \mathrm{P},~ \mathrm{S}$의 좌표를 구하면,

$\displaystyle x^{2}+y^{2}-8 x-6 y=x^{2}+ \left (\frac{1}{2} x+1 \right )^{2}-8 x-6 \left (\frac{1}{2} x+1 \right )=0$

$\displaystyle 4 x^{2}+(x+2)^{2}-32 x-12(x+2)=4 x^{2}+x^{2}+4 x+4-32 x-12 x-24=5 x^{2}-40 x-20=5 \left (x^{2}-8 x-4 \right )=0$

$\displaystyle x^{2}-8 x-4=0 \Rightarrow x=\frac{8 ± \sqrt {64-4 \times 1 \times (-4)}}{2}=\frac{8 ± \sqrt {80}}{2}=\frac{8 ± 4 \sqrt {5}}{2}=4 ± 2 \sqrt {5}$

$\displaystyle y=\frac{1}{2} x+1=\frac{1}{2}(4 ± 2 \sqrt {5})+1=3 ± \sqrt {5}$

따라서, 두 교점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}(4-2 \sqrt {5},~ 3-\sqrt {5}),~ \mathrm{S}(4+2 \sqrt {5},~ 3+\sqrt {5})$이다.

이 직선과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 내접원과 만나는 두 교점 $\displaystyle \mathrm{Q},~ \mathrm{R}$의 좌표를 구하면,

$\displaystyle x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+4=x^{2}+ \left (\frac{1}{2} x+1 \right )^{2}-4 x-4 \left (\frac{1}{2} x+1 \right )+4=0$

$\displaystyle 4 x^{2}+(x+2)^{2}-16 x-8(x+2)+16=4 x^{2}+x^{2}+4 x+4-16 x-8 x-16+16=5 x^{2}-20 x+4=0$

$\displaystyle 5 x^{2}-20 x+4=0 \Rightarrow x=\frac{20 ± \sqrt {400-4 \times 5 \times 4}}{2 \times 5}=\frac{20 ± \sqrt {320}}{10}=\frac{20 ± 8 \sqrt {5}}{10}=\frac{10 ± 4 \sqrt {5}}{5}$

$\displaystyle y=\frac{1}{2} x+1=\frac{1}{2} \frac{10 ± 4 \sqrt {5}}{5}+1=\frac{5 ± 2 \sqrt {5}}{5}+1=\frac{10 ± 2 \sqrt {5}}{5}$

따라서, 두 교점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{Q} \left (\frac{10-4 \sqrt {5}}{5},~ \frac{10-2 \sqrt {5}}{5} \right ),~ \mathrm{R} \left (\frac{10+4 \sqrt {5}}{5},~ \frac{10+2 \sqrt {5}}{5} \right )$이다.

그러므로,

최솟값 $\displaystyle l_{1}=\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt { \left (4-2 \sqrt {5}-\frac{10-4 \sqrt {5}}{5} \right )^{2}+ \left (3-\sqrt {5}-\frac{10-2 \sqrt {5}}{5} \right )^{2}}$,

$\displaystyle =\sqrt {14-6 \sqrt {5}}=\sqrt {(3-\sqrt {5})^{2}}=3-\sqrt {5}$

최댓값 $\displaystyle l_{2}=\overline{\mathrm{QS}}=\sqrt { \left (4+2 \sqrt {5}-\frac{10-4 \sqrt {5}}{5} \right )^{2}+ \left (3+\sqrt {5}-\frac{10-2 \sqrt {5}}{5} \right )^{2}}$.

$\displaystyle =\sqrt {54+14 \sqrt {5}}=\sqrt {(7+\sqrt {5})^{2}}=7+\sqrt {5}$

[2] (1)

좌석표에서 $\displaystyle 1$번, $\displaystyle 2$번, $\displaystyle 3$번 좌석은 광운랜드 도착순서가 가장 빠른 $\displaystyle 3$명의 학생에게 고정적으로 배정되어야 하기 때문에, ( $\displaystyle 1$번, $\displaystyle 2$번, $\displaystyle 3$번) 좌석을 제외하고 남은 $\displaystyle 4$개의 좌석에 $\displaystyle 4$등 이하의 도착순서를 가진 $\displaystyle 4$명의 학생의 좌석을 배정한다. $\displaystyle 4$개의 좌석에 $\displaystyle 4$명의 학생을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{4} \mathrm P_{4}=4! =4 \times 3 \times 2 \times 1=24$이다. 도착순서가 가장 빠른 박옥의, 정복지, 김화도 학생이 $\displaystyle 1$번, $\displaystyle 2$번, $\displaystyle 3$번 좌석에서 자리를 바꾸는 것은 $\displaystyle 3$개의 좌석에 $\displaystyle 3$명의 학생을 배열하는 것과 같기 때문에, 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3}=3! =3 \times 2 \times 1=6$이다.

그러므로, 도착순서가 가장 빠른 $\displaystyle 3$명을 $\displaystyle 1$번, $\displaystyle 2$번, $\displaystyle 3$번 좌석에 도착순서에 상관없이 나누어 배정하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{4} \mathrm P_{4} \times { }_{3} \mathrm P_{3}=4!\times 3! =24 \times 6=144$이다.

(2)

$\displaystyle 2$학년 학생과 $\displaystyle 3$학년 학생 사이에 $\displaystyle 4$명의 학생이 있는 경우는 각각 ($\displaystyle 2$학년) $\displaystyle \square \square \square \square$($\displaystyle 3$학년)과 ($\displaystyle 3$학년) $\displaystyle \square \square \square \square$($\displaystyle 2$학년) 배열이 있는 경우이고, 각 경우의 수는 동일하다.

① ($\displaystyle 2$학년) $\displaystyle \square \square \square \square$($\displaystyle 3$학년)을 하나의 학생이라고 생각하고, 나머지 $\displaystyle 1$명의 학생과 합쳐 총 $\displaystyle 2(=1+1)$명의 학생을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm P_{2}=2! =2$이다.

그런데, $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 3$명중에서 $\displaystyle 2$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm C_{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3$이고, $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 2$명중에서 $\displaystyle 2$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm C_{2}=\frac{2!}{2!(2-2)!}=1$이다. 이렇게 선택된 $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 2$명과 남학생 $\displaystyle 2$명을 $\displaystyle \square \square \square \square$에 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{4} \mathrm P_{4}=4! =24$이다.

따라서, $\displaystyle 2$학년 학생과 $\displaystyle 3$학년 학생 사이에 $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 2$명과 $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 2$명만을 배정하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm P_{2} \times { }_{3} \mathrm C_{2} \times { }_{2} \mathrm C_{2} \times { }_{4} \mathrm P_{4}=2 \times 3 \times 1 \times 24=144$이다.

② ($\displaystyle 3$학년) $\displaystyle \square \square \square \square$($\displaystyle 2$학년) 인 경우도 같은 방법으로 구하면, 경우의 수는 $\displaystyle 144$이다.

그러므로, $\displaystyle 2$학년 학생과 $\displaystyle 3$학년 학생 사이에 $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 2$명과 $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 2$명만을 배정하는 경우의 수는 $\displaystyle 288$(= $\displaystyle 2 \times 144$) 이다.

(3)

좌석표에 $\displaystyle 3$학년 학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석중 하나에 $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 1$명, 나머지 하나에 $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 1$명을 배정하고, $\displaystyle 2$학년 학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석중 하나에 $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 1$명, 나머지 하나에 $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 1$명을 배정하는 경우는 다음의 $\displaystyle 8$가지이다.

① ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남) 및 ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남)

② ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남) 및 ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여)

③ ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여) 및 ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남)

④ ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여) 및 ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여)

⑤ ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여)

⑥ ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여)

⑦ ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남)

⑧ ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남)

① ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남) 및 ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남) 인 경우, ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남) 을 $\displaystyle 1$명의 학생이라고 생각하고, ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남)도 $\displaystyle 1$명의 학생이라고 생각하고, 나머지 $\displaystyle 1$명의 학생과 합쳐 총 $\displaystyle 3(=1+1+1)$명의 학생을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3}=3! =6$이다.

그런데, $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 3$명중에서 $\displaystyle 2$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm C_{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3$이고, 선택된 $\displaystyle 2$명을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm P_{2}=2! =2$이다. $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 2$명중에서 $\displaystyle 2$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm C_{2}=\frac{2!}{2!(2-2)!}=1$이고, 선택된 $\displaystyle 2$명을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm P_{2}=2! =2$이다.

따라서, ($\displaystyle 1$여)(3)($\displaystyle 1$남) 및 ($\displaystyle 1$여)(2)($\displaystyle 1$남)인 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3} \times \left ({ }_{3} \mathrm C_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2} \right ) \times \left ({ }_{2} \mathrm C_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2} \right )=6 \times (3 \times 2) \times (1 \times 2)=72$이다.

② ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남) 및 ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여) 의 경우도 같은 방법으로 구하면, 경우의 수는 $\displaystyle 72$이다.

③ ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여) 및 ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남) 의 경우도 같은 방법으로 구하면, 경우의 수는 $\displaystyle 72$이다.

④ $\displaystyle (1$남$\displaystyle )(3)(1$여) 및 ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여) 의 경우도 같은 방법으로 구하면, 경우의 수는 $\displaystyle 72$이다.

⑤ $\displaystyle (1$여$\displaystyle )(3)(1$남$\displaystyle )(2)(1$여$\displaystyle )$인 경우, $\displaystyle (1$여$\displaystyle )(3)(1$남$\displaystyle )(2)(1$여 $\displaystyle )$를 $\displaystyle 1$명의 학생이라고 생각하고, 나머지 $\displaystyle 2$명의 학생과 합쳐 총 $\displaystyle 3(=1+2)$명의 학생을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3}=3! =6$이다.

그런데, $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 3$명중에서 $\displaystyle 2$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm C_{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3$이고, 선택된 $\displaystyle 2$명을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm P_{2}=2! =2$이다. $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 2$명중에서 $\displaystyle 1$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm C_{1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$이다.

따라서, ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여)인 경우의 수는

$\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3} \times \left ({ }_{3} \mathrm C_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2} \right ) \times { }_{2} \mathrm C_{1}=6 \times (3 \times 2) \times 2=72$이다.

⑥ ($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여) 의 경우도 같은 방법으로 구하면, 경우의 수는 $\displaystyle 72$이다.

⑦ ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남) 인 경우, ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남) 을 $\displaystyle 1$명의 학생이라고 생각하고, 나머지 $\displaystyle 2$명의 학생와 합쳐 총 $\displaystyle 3(=1+2)$명의 학생을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3}=3 !=6$이다.

그런데, $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 3$명중에서 $\displaystyle 1$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm C_{1}=\frac{3!}{1!(3-1)!}=3$이다. $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 2$명중에서 $\displaystyle 2$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm C_{2}=\frac{2!}{2!(2-2)!}=1$이고, 선택된 $\displaystyle 2$명을 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{2} \mathrm P_{2}=2! =2$이다.

따라서, ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$남)인 경우의 수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3} \times { }_{3} \mathrm C_{1} \times \left ({ }_{2} \mathrm C_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2} \right )=6 \times 3 \times (1 \times 2)=36$이다.

⑧ ($\displaystyle 1$남)($\displaystyle 2$)($\displaystyle 1$여)($\displaystyle 3$)($\displaystyle 1$남) 의 경우도 같은 방법으로 구하면, 경우의 수는 $\displaystyle 36$이다.

그러므로, 좌석표에 $\displaystyle 3$학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석중 하나에 $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 1$명, 나머지 하나에 $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 1$명이 배치되고, $\displaystyle 2$학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석중 하나에 $\displaystyle 1$학년 여학생 $\displaystyle 1$명, 나머지 하나에 $\displaystyle 1$학년 남학생 $\displaystyle 1$명을 배정하는 경우의 수는 $\displaystyle 504(=4 \times 72+ 2 \times 72+2 \times 36$) 이다 .