자연계열 2번

[1]

함수 $\displaystyle f(x)$의 최솟값이 함수 $\displaystyle g(x)$의 최댓값보다 크거나 같아야 한다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=12 \left (x^{3}-x^{2}-x-2 \right )=12(x-2) \left (x^{2}+x+1 \right )$

$\displaystyle x^{2}+x+1= \left (x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$일 때 극소이면서 최소이고

최솟값은 $\displaystyle f(2)=-56$

$\displaystyle g(x)=-(x+1)^{2}+k+1$이므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-1$일 때 최댓값 $\displaystyle k+1$을 가진다.

그러므로 $\displaystyle -56 \ge k+1$이고 $\displaystyle -57 \ge k$

따라서 상수 $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle -57$

[2] (1)

원뿔을 만들었을 때 원 $\displaystyle C$의 반지름의 길이를 $\displaystyle x$, 원뿔의 높이를 $\displaystyle h$라고 하면 이 원뿔의 부피 $\displaystyle V(h)=\frac{1}{3} \pi x^{2} h$

피타고라스 정리로부터 $\displaystyle x^{2}=1-h^{2}$이므로 $\displaystyle V(h)=\frac{1}{3} \pi \left (h-h^{3} \right )(0<h<1)$에서

$\displaystyle V^{\prime}(h)=\frac{\pi }{3} \left (1-3 h^{2} \right )=-\pi \left (h+\frac{\sqrt {3}}{3} \right ) \left (h-\frac{\sqrt {3}}{3} \right )$

$\displaystyle V^{\prime}(h)=0$에서 $\displaystyle h=\frac{\sqrt {3}}{3}$일 때 $\displaystyle V$는 극대이고 또한 최대이다.

$\displaystyle x^{2}=1-h^{2}(x>0)$에서 $\displaystyle x=\frac{\sqrt {6}}{3}$ 또한 호의길이 공식으로부터 $\displaystyle 2 \pi x=2 \pi -\theta$

따라서 $\displaystyle \theta =2 \pi \left (1-\frac{\sqrt {6}}{3} \right )$

(2) 전개도에서 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle A^{\prime}$이 원뿔의 지름이 되려면 다음 그림에서

$\displaystyle \beta =\beta_{1}+\beta_{2}$이므로 $\displaystyle \beta =\frac{2 \pi -\theta }{2}=\frac{\sqrt {6} \pi }{3}$

코사인법칙에 의하여 $\displaystyle l^2=\overline{AA^{\prime}}^2=1^2+1^2-2\cos\dfrac{\sqrt6\pi}3=2\left(1-\cos\dfrac{\sqrt6\pi}3\right)$

[3] (1)

$\displaystyle y= \tan \left (x-\frac{\pi }{2} \right )$이므로 $\displaystyle y^{\prime}= \sec ^{2} \left (x-\frac{\pi }{2} \right )$

점 $\displaystyle \mathrm{P}_{\mathrm{n}}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a_{n}$으로 놓으면 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n},~ \mathrm{Q}_{n}$의 좌표는 각각 $\displaystyle \left (a_{n},~ 0 \right ),~ \left (a_{n},~ \tan \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right ) \right )$이다.

이때 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle y^{\prime}= \sec ^{2} \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}$에서의 접선의 방정식은

$\displaystyle y- \tan \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )= \sec ^{2} \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right ) \left (x-a_{n} \right )$

이 접선과 $\displaystyle x$축과의 교점은 $\displaystyle \left (- \tan \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right ) \cos ^{2} \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )+a_{n},~ 0 \right )$이고 이 점이 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} \left (a_{n+1},~ 0 \right )$이므로

$\displaystyle a_{n+1}=- \tan \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right ) \cos ^{2} \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )+a_{n}=- \sin \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right ) \cos \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )+a_{n}=-\frac{1}{2} \sin 2 \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )+a_{n}$

이 식의 양변에 극한을 취하면 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } a_{n}=\alpha$이므로

$\displaystyle \alpha =-\frac{1}{2} \sin 2 \left (\alpha -\frac{\pi }{2} \right )+\alpha$이므로 $\displaystyle \sin 2 \left (\alpha -\frac{\pi }{2} \right )=0$

이 때 $\displaystyle \frac{\pi }{4}<\alpha <\frac{3 \pi }{4}$이므로 $\displaystyle -\frac{\pi }{2}<2 \left (\alpha -\frac{\pi }{2} \right )<\frac{\pi }{2}$

따라서 $\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{2}$

(2)

(1)에서 $\displaystyle a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{2} \sin 2 \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )$이므로 양변에서 $\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{2}$를 뺀 후, $\displaystyle a_{n}-\alpha \ne 0$이므로 양변을 $\displaystyle a_{n}-\frac{\pi }{2}$로 나누면 $\displaystyle \frac{a_{n+1}-\frac{\pi }{2}}{a_{n}-\frac{\pi }{2}}=1-\frac{1}{2} \frac{ \sin 2 \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )}{a_{n}-\frac{\pi }{2}}$

이 식의 양변에 극한을 취하면 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } \left (\frac{a_{n+1}-\alpha }{a_{n}-\alpha } \right )=1-\lim _{n \to \infty } \frac{ \sin 2 \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )}{2 \left (a_{n}-\frac{\pi }{2} \right )}=0$