자연계열 1번

[1]

집합 $\displaystyle X= \left\{1,~2,~3 \right\}$에서 집합 $\displaystyle Y= \left\{3,~4,~5,~6,~7 \right\}$로의 함수 중

일대일함수는 집합 $\displaystyle Y$에서 $\displaystyle 3$개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우 $\displaystyle { }_{5} \mathrm P_{3}=5 \times 4 \times 3=60$

조건 (가)를 만족하는 함수는 집합 $\displaystyle Y$에서 $\displaystyle 3$개를 뽑아 크기순으로 하나씩 대응하는 경우

$\displaystyle { }_{5} \mathrm C_{3}={ }_{5} \mathrm C_{2}=\frac{5 \times 4}{2 \times 1}=10$

이 중 조건 (나)를 만족하려면 치역의 원소가 모두 홀수이거나 하나만 홀수이어야 한다.

($\displaystyle \mathrm{i}$) 모두 홀수인 경우 : $\displaystyle (3,~5,~7)$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) $\displaystyle 3$만 선택된 경우 : $\displaystyle (3,~4,~6)$

($\displaystyle \mathrm{iii}$) $\displaystyle 5$만 선택된 경우 : $\displaystyle (4,~5,~6)$

($\displaystyle \mathrm{iv}$) $\displaystyle 7$만 선택된 경우 : $\displaystyle (4,~6,~7)$

따라서 조건을 만족하는 함수 $\displaystyle f$의 확률 : $\displaystyle \frac{4}{60}=\frac{1}{15}$

[2] (1)

$\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x \sin \theta + \sin ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta +2 \cos \theta =(x+ \sin \theta )^{2}- \sin ^{2} \theta +2 \cos \theta$

$\displaystyle ~=(x+ \sin \theta )^{2}- \left (1- \cos ^{2} \theta \right )+2 \cos \theta =(x+ \sin \theta )^{2}+ \cos ^{2} \theta +2 \cos \theta -1$

$\displaystyle x=- \sin \theta$에서 최솟값 $\displaystyle m(\theta )=f(- \sin \theta )= \cos ^{2} \theta +2 \cos \theta -1=( \cos \theta +1)^{2}-2$

$\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$에서 $\displaystyle -1 \le \cos \theta \le 1$이므로 $\displaystyle 0 \le \cos \theta +1 \le 2$이고 $\displaystyle 0 \le ( \cos \theta +1)^{2} \le 4$

따라서 $\displaystyle m(\theta )=( \cos \theta +1)^{2}-2$의 최댓값은 $\displaystyle 2$

(2)

판별식 $\displaystyle D / 4= \sin ^{2} \theta -2 \cos \theta =1- \cos ^{2} \theta -2 \cos \theta \ge 0$

$\displaystyle \cos ^{2} \theta +2 \cos \theta -1 \le 0$에서 $\displaystyle -1-\sqrt {2} \le \cos \theta \le -1+\sqrt {2}$이고

$\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$에서 $\displaystyle -1 \le \cos \theta \le 1$이므로 $\displaystyle -1 \le \cos \theta \le -1+\sqrt {2}$

코사인 함수는 $\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$에서 감소함수이므로 $\displaystyle \alpha$에서 최댓값, $\displaystyle \beta$에서 최솟값을 가진다.

$\displaystyle \alpha \le \theta \le \beta$이므로 $\displaystyle \cos \alpha =-1+\sqrt {2},~ \cos \beta =-1$

$\displaystyle \cos \alpha =-1+\sqrt {2}$에서 $\displaystyle \sin ^{2} \alpha =1- \cos ^{2} \alpha =2 \sqrt {2}-2$

$\displaystyle \cos \beta =-1$에서 $\displaystyle \sin ^{2} \beta =1- \cos ^{2} \beta =0$

따라서 $\displaystyle \sin ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta =2 \sqrt {2}-2$

[3]

주사위를 $\displaystyle n$번 던져 $\displaystyle 6$의 약수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $\displaystyle K$라고 하면

$\displaystyle 6$의 약수의 눈이 나올 확률 $\displaystyle p=\frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle q=1-p=\frac{1}{3}$

확률변수 $\displaystyle K$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(n,~ p)=\mathrm{B} \left (n,~ \frac{2}{3} \right )$를 따르고 $\displaystyle \mathrm{E}(K)=n p=\frac{2}{3} n,~ ~ \mathrm{~V}(K)=\sigma ^{2}=n p q=\frac{2}{9} n$

주사위를 $\displaystyle 450$번 던지는 경우 시행 횟수가 충분히 크므로

확률변수 $\displaystyle K$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(n p,~ n p q)=\mathrm{N} \left (300,~10^{2} \right )$을 따른다.

수직선 위 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표를 확률변수 $\displaystyle X$라고 하면 $\displaystyle X=2 K$이고

$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\mathrm{E}(2 K)=2 \mathrm{E}(K)=2 \times \frac{2}{3} \times 450=600$

$\displaystyle \mathrm{V}(X)=\mathrm{V}(2 K)=2^{2} \mathrm{~V}(K)=4 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times 450=20^{2}$

따라서 확률변수 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \left (600,~20^{2} \right )$을 따르고

확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-600}{20}$은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,~1)$을 따른다.

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(580\le X\le640)&=\mathrm P\left(\dfrac{580-600}{20}\le\dfrac{X-600}{20}\le\dfrac{640-600}{20}\right)\\&=\mathrm P(-1\le Z\le2)=\mathrm P(-1\le Z\le0)+\mathrm P(0\le Z\le2)\\&=\mathrm P(0\le Z\le1)+\mathrm P(0\le Z\le2)\\&=\dfrac12\mathrm P(-1\le Z\le1)+\dfrac12\mathrm P(-2\le Z\le2)\\&=0.3413+0.4772=0.8185\end{aligned}$

[4]

원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 n$과 곡선 $\displaystyle y=\frac{n}{x}$이 만나므로 $\displaystyle x^{2}+ \left (\frac{n}{x} \right )^{2}=2 n$

$\displaystyle x^{2}+\frac{n^{2}}{x^{2}}-2 n=0$에서 $\displaystyle x^{4}-2 n x^{2}+n^{2}= \left (x^{2}-n \right )^{2}=0$이므로 $\displaystyle x= ± \sqrt {n}$

따라서 만나는 점의 양의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle a_{n}=\sqrt {n}$

원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 n$과 곡선 $\displaystyle y=\sqrt {2 n x}$가 만나므로

$\displaystyle x^{2}+(\sqrt {2 n x})^{2}-2 n=x^{2}+2 n x-2 n=0$에서 $\displaystyle x=-n ± \sqrt {n^{2}+2 n}$

따라서 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle b_n=\sqrt{n^2+2n}-n$ ($\displaystyle \because$ 무리함수의 정의역 $\displaystyle x>0$)

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{(a_n)^2}&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n^2+2n}-n}{(\sqrt n)^2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n^2+2n}-n}n\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(\sqrt{n^2+2n}-n)(\sqrt{n^2+2n}+n)}{n(\sqrt{n^2+2n}+n)}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2+2n-n^2}{n(\sqrt{n^2+2n}+n)}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac2{\sqrt{n^2+2n}+n}=0\end{aligned}$