자연계열 2번

[1]

$\displaystyle x=2025$라고 두면

$\displaystyle \begin{aligned}2025\cdot2026\cdot2027\cdot2028-24&=x(x+1)(x+2)(x+3)-24=(x^2+3x)(x^2+3x+2)-24\\&=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)-24=(x^2+3x-4)(x^2+3x+6)\\&=(x-1)(x+4)(x^2+3x+6)\end{aligned}$

$\displaystyle (2025)^{2}+3 \cdot 2023+1=x^{2}+3(x-2)+1=x^{2}+3 x-5$이므로 다음 식을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}2025\cdot2026\cdot2027\cdot2028-24&=(x-1)(x+4)(x^2+3x+6)\\&=(x-1)(x+4)(x^2+3x-5+11)\\&=(x-1)(x+4)(x^2+3x-5)+11(x-1)(x+4)\\&=(x-1)(x+4)(x^2+3x-5)+11(x^2+3x-5+1)\\&=\{(x-1)(x+4)+11\}(x^2+3x-5)+11\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle 2025 \cdot 2026 \cdot 2027 \cdot 2028-24$를 $\displaystyle (2025)^{2}+3 \cdot 2023+1$로 나누었을 때의 나머지는 $\displaystyle 11$이다.

[2]

$\displaystyle \lim _{n \to \infty } \left\{\frac{1}{1 \cdot \left (n^{2}+1 \right )}+\frac{1+7}{(1+3) \left (n^{2}+2^{2} \right )}+\frac{1+7+19}{(1+3+5) \left (n^{2}+3^{2} \right )}+ \cdots +\frac{1+7+ \cdots + \left (3 n^{2}-3 n+1 \right )}{(1+3+ \cdots +(2 n-1)) \left (n^{2}+n^{2} \right )} \right\}$

$\displaystyle =\lim _{n \to \infty } \sum _{k=1}^{n} \frac{1+7+ \cdots + \left (3 k^{2}-3 k+1 \right )}{(1+3+ \cdots +(2 k-1)) \left (n^{2}+k^{2} \right )}$ ⋯⋯①

①에서 분자와 분모의 일부를 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}1+7+\cdots+(3k^2-3k+1)&=\sum_{p=1}^k(3p^2-3p+1)\\&=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}2-\dfrac{3k(k+1)}2+k\\&=\dfrac k2(2k^2+3k+1-3k-3+2)=k^3\end{aligned}$

$\displaystyle 1+3+ \cdots +(2 k-1)=\sum _{p=1}^{k}(2 p-1)=k(k+1)-k=k^{2}$

이로부터 ①식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

①$\displaystyle =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n^2+k^2}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\frac kn}{1+(\frac kn)^2}\dfrac1n=\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}dx=\Biggl[\dfrac12\ln(1+x^2)\Biggr]_0^1=\dfrac{\ln2}2$

[3]

$\displaystyle x\ge1$일 때, $\displaystyle f(x)=x\ge1$이므로 $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x)=x$

$\displaystyle x<1$일 때, $\displaystyle f(x)=2-x\ge1$이므로 $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(2-x)=2-x$

$\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x))=f(x)$

따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f^{n}(x)=f(x)$

$\displaystyle g(x)=x^{2}-2 x+2=(x-1)^{2}+1$이므로$\displaystyle g^{2}(x)=g(g(x))= \left\{(x-1)^{2}+1-1 \right\}^{2}+1=(x-1)^{2^{2}}+1$

따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle g^{n}(x)=g \left (g^{(n-1)}(x) \right )= \left\{(x-1)^{2^{n-1}}+1-1 \right\}^{2}+1=(x-1)^{2^{n}}+1$

두 함수 $\displaystyle f^{n}(x)$와 $\displaystyle g^{n}(x)$의 교점, 즉, $\displaystyle (x-1)^{2^{n}}=|x-1|$의 교점을 구하자.

($\displaystyle \mathrm{i}$) $\displaystyle x>1$일 때, $\displaystyle (x-1) \left\{(x-1)^{2^{n}-1}-1 \right\}=0$이므로 $\displaystyle x=2$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) $\displaystyle x<1$일 때, $\displaystyle (x-1) \left\{(x-1)^{2^{n}-1}+1 \right\}=0$이므로 $\displaystyle x=0$

($\displaystyle \mathrm{iii}$) $\displaystyle x=1$일 때, 좌변=우변= $\displaystyle 0$이므로 교점이다.

두 곡선 $\displaystyle y=f^{n}(x)$와 $\displaystyle y=g^{n}(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S$라고 하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}S&=2\int_0^1|f^n(x)-g^n(x)|dx=2\int_0^1\{2-x-(x-1)^{2^n}-1\}dx\\&=2\Biggl[x-\dfrac{x^2}2-\dfrac{(x-1)^{2^n+1}}{2^n+1}\Biggr]_0^1=1-\dfrac2{2^n+1}=\dfrac{15}{17}\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle n=4$

[4] (1)

$\displaystyle |f(x)|=\begin{cases}2-(x+2)^2&(-2<x\le-1)\\|2x+1|&(-1<x<0)\\\sqrt{\dfrac x2}+1&(0\le x<2)\end{cases}$

$\displaystyle \lim _{x \to -1-} \left\{2-(x+2)^{2} \right\}=1,~|f(-1)|=1,~ ~ \lim _{x \to -1+}|2 x+1|=1$이므로

$\displaystyle x=-1$에서 $\displaystyle y=|f(x)|$은 연속이다.

(좌미분계수=) $\displaystyle \lim _{h \to 0-} \frac{2-(-1+h+2)^{2}-1}{h}=\lim _{h \to 0-} \frac{-h^{2}-2 h}{h}=-2$

(우미분계수=) $\displaystyle\lim_{h\to0+}\dfrac{|2(-1+h)+1|-1}h=\lim_{h\to0+}\dfrac{1-2h-1}h=-2$

이므로 $\displaystyle y=|f(x)|$은 $\displaystyle x=-1$에서 미분가능하다.

(2)

$\displaystyle f^{-1}(x)=\begin{cases}\sqrt{x+2}-2&(-2<x\le-1)\\-\dfrac12(x+1)&(-1<x<1)\\2(x-1)^2&(1\le x<2)\end{cases}$

($\displaystyle \mathrm{i}$) $\displaystyle -2<a<-1$일 때, $\displaystyle \left |\lim _{x \to a-} f^{-1}(x)+\lim _{x \to a+} f^{-1}(x) \right |=|2(\sqrt {a+2}-2)|=1$

$\displaystyle \sqrt {a+2}=2 ± \frac{1}{2}=\frac{5}{2},~ \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle a=\frac{17}{4},~ \frac{1}{4}$이다. 그런데 두 값 모두 구간 $\displaystyle -2<a<-1$에 포함되지 않는다.

($\displaystyle \mathrm{ii}$) $\displaystyle a=-1$일 때, $\displaystyle \left |\lim _{x \to a-} f^{-1}(x)+\lim _{x \to a+} f^{-1}(x) \right |=|-1+0|=1$

($\displaystyle \mathrm{iii}$) $\displaystyle -1<a<1$일 때, $\displaystyle \left |\lim _{x \to a-} f^{-1}(x)+\lim _{x \to a+} f^{-1}(x) \right |= \left |-\frac{1}{2}(a+1)-\frac{1}{2}(a+1) \right |=1$$\displaystyle a+1= ± 1$이므로 $\displaystyle a=0,~-2$이다. 그런데 $\displaystyle a=0$만 구간 $\displaystyle -1<a<1$에 포함된다.

($\displaystyle \mathrm{iv}$) $\displaystyle a=1$일 때, $\displaystyle \left |\lim _{x \to a-} f^{-1}(x)+\lim _{x \to a+} f^{-1}(x) \right |=|-1+0|=1$

(v) $\displaystyle 1<a<2$일 때, $\displaystyle \left|\displaystyle\lim_{x\to a-}f^{-1}(x)+\lim_{x\to a+}f^{-1}(x)\right|=|2(a-1)^2+2(a-1)^2|=1$

$\displaystyle a-1= ± \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle a=\frac{3}{2},~ \frac{1}{2}$이다. 그런데 $\displaystyle a=\frac{3}{2}$만 구간 $\displaystyle 1<a<2$에 포함된다.

($\displaystyle \mathrm{i}$), ($\displaystyle \mathrm{ii}$), ($\displaystyle \mathrm{iii}$), ($\displaystyle \mathrm{iv}$), ($\displaystyle \mathrm{v}$)로부터 $\displaystyle a=-1,~0,~1,~ \frac{3}{2}$