자연계열 A 1번

(1) 첫째항이 3이고 공비가 3인 등비수열 $\displaystyle a_n$은 $\displaystyle a_n=3^n$이고,

$\displaystyle f(a_n)=\log_3 3^n=n$이다. 삼각형 $\displaystyle T_n$의 높이는 $\displaystyle h_n=f(a_n)=n$이므로

$\displaystyle \sum_{k=2}^{n}h_k^2=\sum_{k=2}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^2-1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6-1=\frac{2n^3+3n^2+n-6}6$

(2) 삼각형 $\displaystyle T_n$의 밑변의 길이는 $\displaystyle a_{n+1}-a_{n-1}=3^{n+1}-3^{n-1}=8\times3^{n-1}$이므로 삼각형의 넓이

$\displaystyle A_n=\frac12\times n\times(3^{n+1}-3^{n-1})=4\times n\times3^{n-1}$

따라서$\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{A_k}{k}=\sum_{k=2}^{n}4\cdot3^{k-1}=\frac{12(3^{n-1}-1)}{3-1}=6(3^{n-1}-1)$