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자연계열 A 1번

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경기대 2025학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2025su/jayeona_1

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문제

[문항 1] 가와 나에 근거하여 논제에 답하시오.

[가] 우리 주변에서 일어나는 현상 중 많은 것이 지수함수나 로그함수의 그래프 형태로 나타난다.

『고등학교 수학 I』

[나] 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합 a1+a2+a3+⋯+an\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n을 합의 기호 ∑\displaystyle \sum를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

a1+a2+a3+⋯+an=∑k=1nak\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k

『고등학교 수학 I』

논제 1. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 f(x)=log⁡3x\displaystyle f(x)=\log_3x이고, 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}을 첫째항이 3이고 공비가 3인 등비수열이라 하자. n\displaystyle n은 n≥2\displaystyle n\ge2인 자연수이고, 세 점 (an,f(an))\displaystyle (a_n,f(a_n)), (an−1,0)\displaystyle (a_{n-1},0), (an+1,0)\displaystyle (a_{n+1},0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 Tn\displaystyle T_n이라 하자.

(1) 삼각형 Tn\displaystyle T_n의 밑변을 두 점 (an−1,0)\displaystyle (a_{n-1},0)과 (an+1,0)\displaystyle (a_{n+1},0)을 잇는 선분으로 선택할 때의 높이를 hn\displaystyle h_n이라 하자. 이때 ∑k=2nhk2\displaystyle \sum_{k=2}^{n}h_k^2을 구하시오. [15점]

(2) 삼각형 Tn\displaystyle T_n의 넓이를 An\displaystyle A_n이라 할 때, ∑k=2nAkk\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{A_k}{k}을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

수열의 합

관련 개념강의 준비중

경기대 2025학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2025su/jayeona_1

+5점 · 첫째항이 3이고 공비가 3인 등비수열의 일반항은 an=3n\displaystyle a_n=3^n이다.

(1) 첫째항이 3이고 공비가 3인 등비수열 an\displaystyle a_n은 an=3n\displaystyle a_n=3^n이고,

+5점

f(an)=log⁡33n=n\displaystyle f(a_n)=\log_3 3^n=n이다.

+5점

삼각형 Tn\displaystyle T_n의 높이는 hn=f(an)=n\displaystyle h_n=f(a_n)=n이므로∑k=2nhk2=∑k=2nk2=∑k=1nk2−12=n(n+1)(2n+1)6−1=2n3+3n2+n−66\displaystyle \sum_{k=2}^{n}h_k^2=\sum_{k=2}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^2-1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6-1=\frac{2n^3+3n^2+n-6}6

+5점 · 삼각형 Tn\displaystyle T_n의 밑변의 길이는 an+1−an−1=3n+1−3n−1=8×3n−1\displaystyle a_{n+1}-a_{n-1}=3^{n+1}-3^{n-1}=8\times3^{n-1}이다.

(2) 삼각형 Tn\displaystyle T_n의 밑변의 길이는 an+1−an−1=3n+1−3n−1=8×3n−1\displaystyle a_{n+1}-a_{n-1}=3^{n+1}-3^{n-1}=8\times3^{n-1}이므로 삼각형의 넓이

+5점 · 삼각형의 넓이는 An=12×n×(3n+1−3n−1)=4×n×3n−1\displaystyle A_n=\frac12\times n\times(3^{n+1}-3^{n-1})=4\times n\times3^{n-1}

An=12×n×(3n+1−3n−1)=4×n×3n−1\displaystyle A_n=\frac12\times n\times(3^{n+1}-3^{n-1})=4\times n\times3^{n-1}

+10점 · 수열의 합은 ∑k=2nAkk=∑k=2n4⋅3k−1=12(3n−1−1)3−1=6(3n−1−1)\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{A_k}{k}=\sum_{k=2}^{n}4\cdot3^{k-1}=\frac{12(3^{n-1}-1)}{3-1}=6(3^{n-1}-1)

따라서∑k=2nAkk=∑k=2n4⋅3k−1=12(3n−1−1)3−1=6(3n−1−1)\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{A_k}{k}=\sum_{k=2}^{n}4\cdot3^{k-1}=\frac{12(3^{n-1}-1)}{3-1}=6(3^{n-1}-1)

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