자연계열 B 2번

$\displaystyle A$지점으로부터의 거리를 $\displaystyle x$라 하자. 그러면 $\displaystyle A$지점에서 $\displaystyle x=0$이고, $\displaystyle B$지점에서 $\displaystyle x=4$이다. 드론의 비행경로가 3차 함수 $\displaystyle f(x)$를 따른다고 하면, $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 2차 함수이고 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=4$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이므로

$\displaystyle f^{\prime}(x)=ax(x-4)=ax^2-4ax\;\Rightarrow\;f(x)=\frac a3x^3-2ax^2+b$

또한 $\displaystyle f(0)=2$이고 $\displaystyle f(4)=1$이므로$\displaystyle f(0)=b=2$이고 $\displaystyle f(4)=\frac{64}3a-32a+2=-\frac{32}3a+2=1\;\Rightarrow\;a=\frac3{32}$따라서$\displaystyle f(x)=\frac1{32}x^3-\frac3{16}x^2+2$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac3{32}x(x-4)$$\displaystyle \Rightarrow\;f(2)=\frac1{32}2^3-\frac3{16}2^2+2=\frac32$이고 $\displaystyle f^{\prime}(2)=\frac3{32}2(2-4)=-\frac38$

점 $\displaystyle (2,f(2))$에서 접선의 방정식은$\displaystyle y-f(2)=f^{\prime}(2)(x-2)\;\Leftrightarrow\;y-\frac32=-\frac38(x-2)$

이고 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle x=6$이다. 따라서 드론은 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle 6\,\mathrm{km}$ 지난 지점에 추락하였다.