수리논술, 이게 다다.

자연계열 B 2번

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경기대 2025학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2025su/jayeonb_2

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문제

[문항 2] 가와 나에 근거하여 논제에 답하시오.

[가] 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프 개형은 도함수를 활용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 조사하고, x\displaystyle x축, y\displaystyle y축과의 교점을 구하면 그릴 수 있다.

『고등학교 수학 II』

[나] 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 미분계수 f′(a)\displaystyle f^{\prime}(a)가 존재할 때, f′(a)\displaystyle f^{\prime}(a)는 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 기울기와 같다.

『고등학교 수학 II』

논제 2. 드론이 평지에 직선으로 뻗어있는 도로를 따라 시험 비행을 하였다. 시험 비행에서 드론의 비행경로는 3차 함수의 그래프 개형을 따르기로 하였으며, 도로의 O\displaystyle O지점에서 이륙하여 드론의 A\displaystyle A지점 상공을 지날 때 하강을 시작하고 도로의 B\displaystyle B지점 상공을 지날 때부터 다시 상승하기로 계획하였다. 이때 A\displaystyle A지점에서는 2 km\displaystyle 2\,\mathrm{km}의 높이로, B\displaystyle B지점에서는 1 km\displaystyle 1\,\mathrm{km}의 높이로 비행하기로 계획하였고, A\displaystyle A지점부터 B\displaystyle B지점까지의 거리는 4 km\displaystyle 4\,\mathrm{km}이다. 그런데 시험 비행 도중 드론이 A\displaystyle A지점으로부터 도로를 따라 2 km\displaystyle 2\,\mathrm{km} 지난 지점의 상공을 지나는 순간 드론 조종에 문제가 발생하였다. 드론 조종에 문제가 발생한 시점부터 드론이 그 순간의 진행 방향으로 직선을 따라 움직여 도로 위에 충돌하였다. 드론이 지면에 충돌한 지점은 도로의 A\displaystyle A지점에서 몇 km\displaystyle \mathrm{km} 지난 지점인지 설명하시오(단, 비행 중 드론의 속력은 항상 0보다 크다). [60점]

해설강의 준비중

접선의 방정식

관련 개념강의 준비중

경기대 2025학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2025su/jayeonb_2

+10점 · A\displaystyle A지점과 B\displaystyle B지점에서 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0

A\displaystyle A지점으로부터의 거리를 x\displaystyle x라 하자. 그러면 A\displaystyle A지점에서 x=0\displaystyle x=0이고, B\displaystyle B지점에서 x=4\displaystyle x=4이다. 드론의 비행경로가 3차 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 따른다고 하면, f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)는 2차 함수이고 x=0\displaystyle x=0과 x=4\displaystyle x=4에서 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0이므로

+10점 · f(x)=a3x3−2ax2+b\displaystyle f(x)=\frac a3x^3-2ax^2+b의 꼴(x2\displaystyle x^2의 계수가 x3\displaystyle x^3의 계수의 −6\displaystyle -6배이면 됨)

f′(x)=ax(x−4)=ax2−4ax  ⇒  f(x)=a3x3−2ax2+b\displaystyle f^{\prime}(x)=ax(x-4)=ax^2-4ax\;\Rightarrow\;f(x)=\frac a3x^3-2ax^2+b

+10점 · f(x)=132x3−316x2+2\displaystyle f(x)=\frac1{32}x^3-\frac3{16}x^2+2이고 f′(x)=332x(x−4)\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac3{32}x(x-4)

또한 f(0)=2\displaystyle f(0)=2이고 f(4)=1\displaystyle f(4)=1이므로f(0)=b=2\displaystyle f(0)=b=2이고 f(4)=643a−32a+2=−323a+2=1  ⇒  a=332\displaystyle f(4)=\frac{64}3a-32a+2=-\frac{32}3a+2=1\;\Rightarrow\;a=\frac3{32}따라서f(x)=132x3−316x2+2\displaystyle f(x)=\frac1{32}x^3-\frac3{16}x^2+2이고 f′(x)=332x(x−4)\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac3{32}x(x-4)⇒  f(2)=13223−31622+2=32\displaystyle \Rightarrow\;f(2)=\frac1{32}2^3-\frac3{16}2^2+2=\frac32이고 f′(2)=3322(2−4)=−38\displaystyle f^{\prime}(2)=\frac3{32}2(2-4)=-\frac38

+15점 · 점 (2,f(2))\displaystyle (2,f(2))에서 접선의 방정식은 y−f(2)=f′(2)(x−2)⇔y−32=−38(x−2)\displaystyle y-f(2)=f^{\prime}(2)(x-2)\Leftrightarrow y-\frac32=-\frac38(x-2)

점 (2,f(2))\displaystyle (2,f(2))에서 접선의 방정식은y−f(2)=f′(2)(x−2)  ⇔  y−32=−38(x−2)\displaystyle y-f(2)=f^{\prime}(2)(x-2)\;\Leftrightarrow\;y-\frac32=-\frac38(x-2)

+15점

이고 접선의 x\displaystyle x절편은 x=6\displaystyle x=6이다. 따라서 드론은 A\displaystyle A에서 6 km\displaystyle 6\,\mathrm{km} 지난 지점에 추락하였다.

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