자연계열 B 1번

(1) $\displaystyle A$지점을 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle B$지점을 $\displaystyle x=0$이라 하자. 그러면 $\displaystyle A$지점을 $\displaystyle n$번째로 지나간 파편은 두 점 $\displaystyle (0,1)$과 $\displaystyle (1,(n+1)^2)$을 지나는 직선의 궤적을 따른다. $\displaystyle \tan\theta_n$은 직선의 양의 기울기를 나타내므로$\displaystyle \tan\theta_n=\frac{(n+1)^2-1}{1-0}=n(n+2)$

이고 따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^{8}\tan\theta_n=\sum_{n=1}^{8}(n^2+2n)=\frac{8\times9\times17}{6}+2\times\frac{8\times9}{2}=276$

(2) 직선의 방정식은$\displaystyle y=n(n+2)x+1$이고, 이 방정식의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle x=-\frac1{n(n+2)}$이다.

따라서 $\displaystyle a_n=\frac1{n(n+2)}$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{8}a_n&=\frac1{1\cdot3}+\frac1{2\cdot4}+\frac1{3\cdot5}+\cdots+\frac1{8\cdot10}\\&=\frac12\left\{\left(1-\frac13\right)+\left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)\right.\\&\qquad\left.+\cdots+\left(\frac18-\frac1{10}\right)\right\}\\&=\frac12\left(1+\frac12-\frac19-\frac1{10}\right)=\frac{29}{45}\end{aligned}$