수리논술, 이게 다다.

자연계열 B 1번

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경기대 2025학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2025su/jayeonb_1

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문제

[문항 1] 가와 나에 근거하여 논제에 답하시오.

[가] 오른쪽 그림에서 동경 OP\displaystyle OP가 나타내는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 할 때

sin⁡θ=yr,\displaystyle \sin\theta=\frac yr,

cos⁡θ=xr,\displaystyle \cos\theta=\frac xr,

tan⁡θ=yx(x≠0)\displaystyle \tan\theta=\frac yx\quad(x\ne0)

이다.

동경 OP와 삼각함수의 정의

』

『고등학교 수학 I』

[나] 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합 a1+a2+a3+⋯+an\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n을 합의 기호 ∑\displaystyle \sum를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

a1+a2+a3+⋯+an=∑k=1nak\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k

『고등학교 수학 I』

논제 1. 인공위성을 궤도에 올리는 데 사용된 우주발사체가 파괴되어 8개의 파편이 순차적으로 평평한 지면 위의 두 지점 A\displaystyle A와 B\displaystyle B의 상공을 통과하여 추락하였다. A\displaystyle A지점의 상공을 n\displaystyle n번째로 지나간 파편은 지면으로부터 (n+1)2 km\displaystyle (n+1)^2\,\mathrm{km}의 높이로 통과하였으며, B\displaystyle B지점의 상공에서는 모든 파편이 지면으로부터 1 km\displaystyle 1\,\mathrm{km}의 높이로 통과하였다. 파편은 모두 직선을 따라 지면에 도달하였고, 두 지점 A\displaystyle A와 B\displaystyle B 사이의 거리는 1 km\displaystyle 1\,\mathrm{km}라고 하자.

(1) A\displaystyle A지점의 상공을 n\displaystyle n번째 지나간 파편이 지면에 도달할 때, 지면과 이루는 각을 θn\displaystyle \theta_n이라 하면, ∑n=18tan⁡θn\displaystyle \sum_{n=1}^{8}\tan\theta_n은 얼마인지 설명하시오 (단, 0<θn<π2\displaystyle 0<\theta_n<\frac\pi2이다). [15점]

(2) A\displaystyle A지점의 상공을 n\displaystyle n번째로 지나간 파편이 지면에 도달한 지점에서 B\displaystyle B지점까지의 거리를 an km\displaystyle a_n\,\mathrm{km}라 하면, ∑n=18an\displaystyle \sum_{n=1}^{8}a_n은 얼마인지 설명하시오. [25점]

해설강의 준비중

수열의 합

관련 개념강의 준비중

경기대 2025학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2025su/jayeonb_1

+10점 · tan⁡θn=n2+2n\displaystyle \tan\theta_n=n^2+2n

(1) A\displaystyle A지점을 x=1\displaystyle x=1, B\displaystyle B지점을 x=0\displaystyle x=0이라 하자. 그러면 A\displaystyle A지점을 n\displaystyle n번째로 지나간 파편은 두 점 (0,1)\displaystyle (0,1)과 (1,(n+1)2)\displaystyle (1,(n+1)^2)을 지나는 직선의 궤적을 따른다. tan⁡θn\displaystyle \tan\theta_n은 직선의 양의 기울기를 나타내므로tan⁡θn=(n+1)2−11−0=n(n+2)\displaystyle \tan\theta_n=\frac{(n+1)^2-1}{1-0}=n(n+2)

+5점 · ∑n=18tan⁡θn=∑n=18(n2+2n)=276\displaystyle \sum_{n=1}^{8}\tan\theta_n=\sum_{n=1}^{8}(n^2+2n)=276

이고 따라서∑n=18tan⁡θn=∑n=18(n2+2n)=8×9×176+2×8×92=276\displaystyle \sum_{n=1}^{8}\tan\theta_n=\sum_{n=1}^{8}(n^2+2n)=\frac{8\times9\times17}{6}+2\times\frac{8\times9}{2}=276

+5점 · 두 점 (0,1)\displaystyle (0,1)과 (1,(n+1)2)\displaystyle (1,(n+1)^2)을 지나는 직선의 방정식은 y=n(n+2)x+1\displaystyle y=n(n+2)x+1이고 방정식의 x\displaystyle x절편은 x=−1n(n+2)\displaystyle x=-\frac1{n(n+2)}이다.

(2) 직선의 방정식은y=n(n+2)x+1\displaystyle y=n(n+2)x+1이고, 이 방정식의 x\displaystyle x절편은 x=−1n(n+2)\displaystyle x=-\frac1{n(n+2)}이다.

+5점

따라서 an=1n(n+2)\displaystyle a_n=\frac1{n(n+2)}이다.

+15점

∑n=18an=11⋅3+12⋅4+13⋅5+⋯+18⋅10=12{(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(18−110)}=12(1+12−19−110)=2945\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{8}a_n&=\frac1{1\cdot3}+\frac1{2\cdot4}+\frac1{3\cdot5}+\cdots+\frac1{8\cdot10}\\&=\frac12\left\{\left(1-\frac13\right)+\left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)\right.\\&\qquad\left.+\cdots+\left(\frac18-\frac1{10}\right)\right\}\\&=\frac12\left(1+\frac12-\frac19-\frac1{10}\right)=\frac{29}{45}\end{aligned}

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