자연계열 A 2번

(1) 시침과 분침이 시계방향으로 이루는 각을 $\displaystyle \theta$($\displaystyle 0\le\theta\le\pi$)라 하면 삼각형의 넓이는$\displaystyle \frac12\times10\times20\times\sin\theta=100\sin\theta\;(\mathrm{cm}^2)$

그러므로 삼각형의 넓이가 $\displaystyle 50\,\mathrm{cm}^2$보다 커지려면$\displaystyle 100\sin\theta\ge50\;\Rightarrow\;\sin\theta\ge\frac12\;\Rightarrow\;\frac\pi6\le\theta\le\frac{5\pi}6$

따라서 시침을 기준으로 분침이 시계방향으로 한 바퀴 회전하며 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 할 때, $\displaystyle 0\le\theta\le4\pi$ 사이에 있는 $\displaystyle \theta$의 범위는$\displaystyle \frac\pi6\le\theta\le\frac{5\pi}6$ 또는 $\displaystyle \frac{7\pi}6\le\theta\le\frac{11\pi}6$ 또는 $\displaystyle \frac{13\pi}6\le\theta\le\frac{17\pi}6$ 또는 $\displaystyle \frac{19\pi}6\le\theta\le\frac{23\pi}6$ 이다.

(2) 시침을 기준으로 분침은 1시 정각에 시계방향으로 $\displaystyle \theta=-\frac\pi6$에 위치한다고 하면, 1시부터 6시 사이에 시침과 분침의 방향이 일치할 때가 총 5번 있고, 6시 정각에 시침과 분침이 이루는 각은 $\displaystyle \pi$이므로 5시간 동안 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle -\frac\pi6\le\theta\le9\pi$이고, 따라서 회전한 각의 크기는 $\displaystyle \frac{55}6\pi$이다.

이 중에서 삼각형의 넓이가 $\displaystyle 50\,\mathrm{cm}^2$보다 큰 $\displaystyle \theta$의 크기는 $\displaystyle 9\times\frac46\pi=6\pi$이므로

$\displaystyle 5\times\frac6{\frac{55}6}=\frac{36}{11}$ (시간) 이다.