자연계열 A 2번

(1) $\displaystyle f(x)$가 삼차함수이므로 $\displaystyle f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$라 둘 수 있다. 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)+f(-x)=2$이므로 다음과 같이 풀 수 있다.

$\displaystyle f(x)+f(-x)=2 b x^{2}+2 d=2 \Rightarrow b=0, d=1$

가정으로부터 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+c$은 최솟값이 $\displaystyle -1$이므로 $\displaystyle c=-1$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=a x^{3}-x+1$이다.

이제 $\displaystyle (x, f(x))$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle m=0$이라 하면 다음과 같다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3 a x^{2}-1=0 \Rightarrow x= \pm \frac{1}{\sqrt {3 a}}$

$\displaystyle f \left ( \pm \frac{1}{\sqrt {3 a}} \right )=a \left ( \pm \frac{1}{3 a \sqrt {3 a}} \right )- \left ( \pm \frac{1}{\sqrt {3 a}} \right )+1=\mp \frac{2}{3 \sqrt {3 a}}+1$

그러므로 기울기가 $\displaystyle m=0$인 두 접선의 방정식은 $\displaystyle y= \pm \frac{2}{3 \sqrt {3 a}}+1$이다.

두 접선에 동시에 접하는 원의 반지름이 $\displaystyle \frac{2}{3 \sqrt {3 a}}$이므로 원의 넓이는 $\displaystyle g(0)=4 \pi =\frac{4}{27 a} \pi \Rightarrow a=\frac{1}{27}$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{27} x^{3}-x+1$이다.

(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{9} x^{2}-1$이므로 점 $\displaystyle (\alpha , f(\alpha ))$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y= \left (\frac{1}{9} \alpha ^{2}-1 \right ) x-\frac{2}{27} \alpha ^{3}+1$이다.$\displaystyle \frac{1}{9} \alpha ^{2}-1=m$라 하면 $\displaystyle \frac{\alpha }{3}= \pm \sqrt {m+1}$이므로 기울기가 $\displaystyle m$인 두 접선의 방정식은 $\displaystyle y=m x \pm 2(m+1)^{3 / 2}+1$이다.

가에 근거하여 접선 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{4(m+1)^{3 / 2}}{\sqrt {m^{2}+1}}$이므로 두 접선에 동시에 접하는 원의 반지름은 $\displaystyle \frac{2(m+1)^{3 / 2}}{\sqrt {m^{2}+1}}$이고 원의 넓이는 $\displaystyle \frac{4 \pi (m+1)^{3}}{m^{2}+1}$이다.

결국,$\displaystyle g(m)=\frac{4 \pi (m+1)^{3}}{m^{2}+1}=4 \pi (m+3)+\frac{8 \pi (m-1)}{m^{2}+1}$이므로, $\displaystyle h(m)=4 \pi (m+3)$라 하면, 문제에서 요구하는 결과를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle g(m)-h(m)=\frac{8 \pi (m-1)}{m^{2}+1} \Rightarrow \lim _{m \to \infty }[g(m)-h(m)]=0$