자연계열 B 1번

(1) 치료법을 $\displaystyle n$번 적용하는 동안 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 $\displaystyle k(0 \le k \le n)$번 적용하였다면 $\displaystyle \mathrm{B}$ 는 $\displaystyle n-k$번 적용되었다. $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 처음 적용 후 남아 있는 환자 수는 전일 대비 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고, $\displaystyle 2$일째 이후는 전일 대비 남아 있는 환자 수는 $\displaystyle \frac{2}{3}$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 적용하면 남아 있는 환자 수는 전일 대비 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

$\displaystyle n$번 적용 후 남아 있는 환자 수를 $\displaystyle a_{n}$이라 하자. $\displaystyle k=0$이면 $\displaystyle \mathrm{B}$ 만 적용하였으므로 가에 의하여 $\displaystyle a_{n}=a \left (\frac{1}{2} \right )^{n}$이다.

결국 $\displaystyle 1 \le k \le n$이면 $\displaystyle a_{n}=\frac{a}{3} \cdot \left (\frac{2}{3} \right )^{k-1} \left (\frac{1}{2} \right )^{n-k}$이다.

(2) 주어진 조건으로부터 $\displaystyle a_{n} \le a \times 3^{-3}$일 때 최소 비용을 구하여야 한다. $\displaystyle k=0$인 경우, $\displaystyle \left (\frac{1}{2} \right )^{n} \le \left (\frac{1}{3} \right )^{3}$이어야 하고 따라서 나에 의하여 $\displaystyle -n \log 2 \le -3 \log 3$. 즉, $\displaystyle n \ge \frac{3 \log 3}{ \log 2}=\frac{3 \times 0.48}{0.3}=4.8$이어야 한다. $\displaystyle n$은 정수이어야 하고 $\displaystyle n=5$일 때, 최소 비용 $\displaystyle 15 \times 5=75$(만원)이 발생한다.

$\displaystyle k \ge 1$인 경우, $\displaystyle 2^{2 k-1-n} 3^{-k} \le 3^{-3}$즉, $\displaystyle 2^{2 k-1-n} \le 3^{k-3}$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle 2 k-1-n \le (k-3) \frac{ \log 3}{ \log 2}$이고, 나에 의하여 $\displaystyle n-2 k+1 \ge 1.6(-k+3)$. 즉, $\displaystyle n \ge 0.4 k+3.8$이다.

$\displaystyle k=1$인 경우, $\displaystyle n \ge 4.2$즉, $\displaystyle n \ge 5$이어야 하고, 이때 최소 비용은 $\displaystyle 15 \times 4+10=70$만원이다. $\displaystyle k=2$인 경우, $\displaystyle n \ge 4.6$즉, $\displaystyle n \ge 5$이어야 하고, 이 때 최소 비용은 $\displaystyle 15 \times 3+10 \times 2=65$만원이다. $\displaystyle k=3$인 경우, $\displaystyle n \ge 5$이어야 하고, 이때 최소 비용은 $\displaystyle 15 \times 2+10 \times 3=60$만원이다. $\displaystyle k=4$인 경우, $\displaystyle n \ge 5.4$즉, $\displaystyle n \ge 6$이어야 하고, 이때 최소 비용은 $\displaystyle 15 \times 2+10 \times 4=70$만원이다. $\displaystyle k=5$인 경우, $\displaystyle n \ge 5.8$즉, $\displaystyle n \ge 6$이어야 하고, 이때 최소 비용은 $\displaystyle 15 \times 1+10 \times 5=65$만원이다. $\displaystyle k=6$인 경우, $\displaystyle n \ge 6.2$즉, $\displaystyle n \ge 7$이어야 하고, 이때 최소 비용은 $\displaystyle 15 \times 1+10 \times 6=75$만원이다. $\displaystyle k \ge 7$인 경우, $\displaystyle n \ge k \ge 7$이어야 하므로 최소 비용은 $\displaystyle 10 k \ge 70$만원 이상이다.

따라서 구하는 최소 비용은 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 $\displaystyle 3$번, $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 $\displaystyle 2$번 적용할 때, $\displaystyle 15 \times 2+10 \times 3=60$만원이다.