자연계열 B 2번

경기대 2026학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2026su/jayeonb_2

[문항 2] 가와 나에 근거하여 논제에 답하시오.

[가] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(x) \ge 0$ 일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a, x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle S=\int_{a}^{b} f(x) d x$

『고등학교 수학 II』

논제 2. 곡선 $\displaystyle y=x^{2}$ 과 직선 $\displaystyle y=k \left (k>\frac{2}{3} \right )$ 에 의해 둘러싸인 영역의 경계선 위에 점 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$ 부터 $\displaystyle \mathrm{A}_{9}$ 까지 $\displaystyle 9$ 개의 점이 순서대로 반시계 방향으로 놓여있다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left (0, \frac{2}{3} \right )$ 와 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$ 부터 $\displaystyle \mathrm{A}_{9}$ 까지 $\displaystyle 9$ 개의 점을 각각 잇는 선분들로 이 영역의 넓이를 $\displaystyle 9$ 등분하고자 한다. $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$ 은 원점이고 $\displaystyle \mathrm{A}_{2}$ 의 좌표는 $\displaystyle (1, 1)$ 이다.

(1) $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. [20점]

(2) 주어진 경계선 위의 $\displaystyle 9$ 개의 점 중에서 직선 $\displaystyle y=k$ 위에 있는 점의 좌표를 모두 구하시오. [30점]

해설강의 준비중

정적분의 기하적 의미

관련 개념강의 준비중

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+5점 · 문제에서 요구하는 도형의 면적 계산

(1) 도형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{1} \mathrm{A}_{2}$ 의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle \frac{1}{2} \left (\frac{2}{3}+1 \right )-\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$

+5점 · 앞선 계산 결과에 대한 문제 요구 사항 반영

$\displaystyle y=x^{2}$ 과 $\displaystyle y=k$ 에 의해 둘러싸인 영역의 넓이는 도형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{1} \mathrm{A}_{2}$ 의 넓이의 $\displaystyle 9$ 배이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9=\frac{9}{2}$ 이다.

+5점 · 적분을 이용해 영역의 계산

한편 $\displaystyle y=x^{2}$ 과 $\displaystyle y=k$ 의 교점은 $\displaystyle ( \pm \sqrt {k}, k)$ 이므로 두 곡선에 의해 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle 2 k \sqrt {k}-\int_{-\sqrt {k}}^{\sqrt {k}} x^{2} d x=2 k \sqrt {k}-\frac{2}{3} k \sqrt {k}=\frac{4}{3} k \sqrt {k}$ 이다.

+5점 · 문제에서 요구하는 최종 결과 산출

그러므로 $\displaystyle \frac{4}{3} k \sqrt {k}=\frac{9}{2} \Rightarrow k^{3 / 2}=\frac{27}{8} \Rightarrow k=\frac{9}{4}$ 이다.

+5점 · 대칭성에 관한 언급

(2) 직선 $\displaystyle y=k=\frac{9}{4}$ 위에 주어진 점이 있다고 가정하면 전체 점의 개수가 홀수이므로 대칭성에 의하여 $\displaystyle \mathrm{A}_{5}$ 와 $\displaystyle \mathrm{A}_{6}$ 가 $\displaystyle y$ 축에 가장 가까운 점이고 각각의 좌표를 $\displaystyle \left (a, \frac{9}{4} \right ), \left (-a, \frac{9}{4} \right )$ 라 둘 수 있다.

+10점 · 삼각형 넓이에 대한 계산 결과를 이용해 좌표를 산출

삼각형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{5} \mathrm{A}_{6}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$ 까지의 거리는 $\displaystyle \frac{9}{4}-\frac{2}{3}=\frac{19}{12}$ 이므로 삼각형의 높이는 $\displaystyle \frac{19}{12}$ 이다. 그러므로 밑변 $\displaystyle {\overline {\mathrm{A}_{5} \mathrm{A}_{6}}}$ 의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle 2 a=\frac{12}{19} \Rightarrow a=\frac{6}{19}$

+5점 · 앞에서 구한 좌표를 이용해 다른 점의 좌표를 식별

+10점 · 특정 점의 좌표를 이용해 문제에서 지정한 평행선 위에 존재하고 있음을 보여줌

그러므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{5}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{6}{19}, \frac{9}{4} \right ), \mathrm{A}_{6}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left (-\frac{6}{19}, \frac{9}{4} \right )$ 이다. 곡선 $\displaystyle y=x^{2}$ 과 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$ 의 교점은 $\displaystyle \left ( \pm \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right )$ 이고 위 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ 이므로 경계면 위에 있는 점이다. $\displaystyle \mathrm{A}_{4}$ 와 $\displaystyle \mathrm{A}_{7}$ 이 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$ 위의 점이라고 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{4} \mathrm{A}_{5}$ 와 $\displaystyle \mathrm{PA}_{6} \mathrm{A}_{7}$ 의 밑변의 길이도 $\displaystyle \frac{12}{19}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{4}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{18}{19}, \frac{9}{4} \right ), \mathrm{A}_{7}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left (-\frac{18}{19}, \frac{9}{4} \right )$ 이어야 하고 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ 를 만족한다. $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$ 와 $\displaystyle \mathrm{A}_{8}$ 이 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$ 위의 점이라고 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{3} \mathrm{A}_{4}$ 와 $\displaystyle \mathrm{PA}_{7} \mathrm{A}_{8}$ 의 밑변의 길이도 $\displaystyle \frac{12}{19}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{30}{19}, \frac{9}{4} \right ), \mathrm{A}_{8}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left (-\frac{30}{19}, \frac{9}{4} \right )$ 이어야 하고 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ 를 만족하지 못하므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$ 와 $\displaystyle \mathrm{A}_{8}$ 이 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$ 위의 점이 아니다. 그러므로 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$ 위의 모든 점의 좌표는 $\displaystyle \left ( \pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4} \right ), \left ( \pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4} \right )$ 이다.

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