자연계열 B 2번

(1) 도형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{1} \mathrm{A}_{2}$의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle \frac{1}{2} \left (\frac{2}{3}+1 \right )-\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle y=x^{2}$과 $\displaystyle y=k$에 의해 둘러싸인 영역의 넓이는 도형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{1} \mathrm{A}_{2}$의 넓이의 $\displaystyle 9$배이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9=\frac{9}{2}$이다. 한편 $\displaystyle y=x^{2}$과 $\displaystyle y=k$의 교점은 $\displaystyle ( \pm \sqrt {k}, k)$이므로 두 곡선에 의해 둘러싸인 영역의 넓이는$\displaystyle 2 k \sqrt {k}-\int_{-\sqrt {k}}^{\sqrt {k}} x^{2} d x=2 k \sqrt {k}-\frac{2}{3} k \sqrt {k}=\frac{4}{3} k \sqrt {k}$이다.

그러므로 $\displaystyle \frac{4}{3} k \sqrt {k}=\frac{9}{2} \Rightarrow k^{3 / 2}=\frac{27}{8} \Rightarrow k=\frac{9}{4}$이다.

(2) 직선 $\displaystyle y=k=\frac{9}{4}$위에 주어진 점이 있다고 가정하면 전체 점의 개수가 홀수이므로 대칭성에 의하여 $\displaystyle \mathrm{A}_{5}$와 $\displaystyle \mathrm{A}_{6}$가 $\displaystyle y$축에 가장 가까운 점이고 각각의 좌표를 $\displaystyle \left (a, \frac{9}{4} \right ), \left (-a, \frac{9}{4} \right )$라 둘 수 있다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{5} \mathrm{A}_{6}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{9}{4}-\frac{2}{3}=\frac{19}{12}$이므로 삼각형의 높이는 $\displaystyle \frac{19}{12}$이다. 그러므로 밑변 $\displaystyle {\overline {\mathrm{A}_{5} \mathrm{A}_{6}}}$의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle 2 a=\frac{12}{19} \Rightarrow a=\frac{6}{19}$

그러므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{5}$의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{6}{19}, \frac{9}{4} \right ), \mathrm{A}_{6}$의 좌표는 $\displaystyle \left (-\frac{6}{19}, \frac{9}{4} \right )$이다. 곡선 $\displaystyle y=x^{2}$과 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$의 교점은 $\displaystyle \left ( \pm \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right )$이고 위 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$이므로 경계면 위에 있는 점이다. $\displaystyle \mathrm{A}_{4}$와 $\displaystyle \mathrm{A}_{7}$이 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$위의 점이라고 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{4} \mathrm{A}_{5}$와 $\displaystyle \mathrm{PA}_{6} \mathrm{A}_{7}$의 밑변의 길이도 $\displaystyle \frac{12}{19}$이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{4}$의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{18}{19}, \frac{9}{4} \right ), \mathrm{A}_{7}$의 좌표는 $\displaystyle \left (-\frac{18}{19}, \frac{9}{4} \right )$이어야 하고 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$를 만족한다. $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$와 $\displaystyle \mathrm{A}_{8}$이 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$위의 점이라고 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PA}_{3} \mathrm{A}_{4}$와 $\displaystyle \mathrm{PA}_{7} \mathrm{A}_{8}$의 밑변의 길이도 $\displaystyle \frac{12}{19}$이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{30}{19}, \frac{9}{4} \right ), \mathrm{A}_{8}$의 좌표는 $\displaystyle \left (-\frac{30}{19}, \frac{9}{4} \right )$이어야 하고 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$를 만족하지 못하므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$와 $\displaystyle \mathrm{A}_{8}$이 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$위의 점이 아니다. 그러므로 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$위의 모든 점의 좌표는 $\displaystyle \left ( \pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4} \right ), \left ( \pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4} \right )$이다.