자연계열 A 1번

경기대 2026학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2026su/jayeona_1

[문항 1] 가와 나에 근거하여 논제에 답하시오.

[가] 다양한 상황에서 경우의 수를 구하는 체계적인 방법이 존재한다. 경우의 수를 세는 방법을 통해 사건이 일어날 수 있는 모든 경우를 분류하고 체계화하는 수학적 사고를 경험할 수 있으며, 이는 합리적인 의사 결정의 중요한 도구가 된다.

『고등학교 수학』

[나] 수열 $\displaystyle \left\{a_{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 합의 기호 $\displaystyle \sum$ 를 사용하여

$\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+ \cdots +a_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$

와 같이 나타낸다.

『고등학교 수학 I』

논제. 임의의 자연수 $\displaystyle m$ 이 소수 $\displaystyle p_{1}, p_{2}, \cdots , p_{n}$ 의 곱 $\displaystyle p_{1} \times p_{2} \times \cdots \times p_{n}$ 으로 나타낼 수 있을 때 $\displaystyle f(m)=n$ 이라고 하자. 예를 들면, $\displaystyle 12=2 \times 2 \times 3$ 이므로 $\displaystyle f(12)=3$ 이다. 단, $\displaystyle f(1)=0$ 이다.

(1) $\displaystyle 210$ 으로 나누어지고 $\displaystyle f(m)=6$ 인 $\displaystyle 10000$ 이하의 자연수 $\displaystyle m$ 의 개수를 구하시오. [20점]

(2) 자연수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle f(a)=5$ 이고 $\displaystyle f(b)=3$ 일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} f \left (n a b^{n} \right )$ 의 값을 구하시오. [25점]

해설강의 준비중

소수

관련 개념강의 준비중

경기대 2026학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2026su/jayeona_1

+5점 · 문제에서 제시한 조건에 맞도록 소인수분해 결과를 제시

(1) $\displaystyle 210=2 \times 3 \times 5 \times 7$ 이므로 $\displaystyle m$ 이 $\displaystyle f(m)=6$ 이고 $\displaystyle 210$ 으로 나누어지면 적당한 소수 $\displaystyle p, q$ 에 대하여 $\displaystyle m=2 \times 3 \times 5 \times 7 \times p \times q$ 로 인수분해된다. $\displaystyle m \le 10000$ 이므로 다음과 같은 범위를 구할 수 있다.

+10점 · 파악해야 할 두 개의 소수를 추가해 값의 범위를 설정

$\displaystyle 210 p q \le 10000 \Rightarrow p q \le \frac{10000}{210}=47. \times \times \cdots$

+5점 · 미지의 두 개 소수를 범위 내의 소수를 이용해 가능한 모든 쌍을 구함

그러므로 곱이 $\displaystyle 47$ 보다 작거나 같은 소수의 쌍은 $\displaystyle (2, 2)$ , $\displaystyle (2, 3)$ , $\displaystyle (2, 5)$ , $\displaystyle (2, 7)$ , $\displaystyle (2, 11)$ , $\displaystyle (2, 13)$ , $\displaystyle (2, 17)$ , $\displaystyle (2, 19)$ , $\displaystyle (2, 23)$ , $\displaystyle (3, 3)$ , $\displaystyle (3, 5)$ , $\displaystyle (3, 7)$ , $\displaystyle (3, 11)$ , $\displaystyle (3, 13)$ , $\displaystyle (5, 5)$ , $\displaystyle (5, 7)$ 이다.

따라서 $\displaystyle 210$ 으로 나누어지고 $\displaystyle f(m)=6$ 인 $\displaystyle 10000$ 이하의 자연수 $\displaystyle m$ 의 개수는 총 $\displaystyle 16$ 개다.

+10점 · 문제에서 정의한 함수를 이용해 소인수의 개수의 합에 대한 함수의 합으로 표현

(2) 임의의 자연수 $\displaystyle k, m$ 에 대하여 $\displaystyle k m$ 의 소인수의 개수는 $\displaystyle k$ 의 소인수의 개수와 $\displaystyle m$ 의 소인수의 개수의 합과 같으므로

$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} f \left (n a b^{n} \right )=\sum_{n=1}^{10} \left\{f(n)+f(a)+n f(b) \right\}=\sum_{n=1}^{10} f(n)+\sum_{n=1}^{10} f(a)+\sum_{n=1}^{10} n f(b)$ 이다.

+5점 · 앞에서 구한 관계식을 이용해 합을 계산

$\displaystyle f(1)=0$ 이고 $\displaystyle f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=1,\;f(4)=f(6)=f(9)=f(10)=2,$ $\displaystyle f(8)=3$ 이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}f(n)=15$ 이다.

+10점 · 각 단계의 계산 결과를 모두 이용해 최종 결과 계산

또한 $\displaystyle f(a)=5$ 이고 $\displaystyle f(b)=3$ 이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} f(a)=10 \times 5=50$ 이고

$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} n f(b)=\frac{10 \times 11}{2} \times 3=165$

이다. 그러므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}f(nab^n)=230$ 이다.

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