자연계열 A 1번

(1) $\displaystyle 210=2 \times 3 \times 5 \times 7$이므로 $\displaystyle m$이 $\displaystyle f(m)=6$이고 $\displaystyle 210$으로 나누어지면 적당한 소수 $\displaystyle p, q$에 대하여 $\displaystyle m=2 \times 3 \times 5 \times 7 \times p \times q$로 인수분해된다. $\displaystyle m \le 10000$이므로 다음과 같은 범위를 구할 수 있다.

$\displaystyle 210 p q \le 10000 \Rightarrow p q \le \frac{10000}{210}=47. \times \times \cdots$

그러므로 곱이 $\displaystyle 47$보다 작거나 같은 소수의 쌍은 $\displaystyle (2, 2)$, $\displaystyle (2, 3)$, $\displaystyle (2, 5)$, $\displaystyle (2, 7)$, $\displaystyle (2, 11)$, $\displaystyle (2, 13)$, $\displaystyle (2, 17)$, $\displaystyle (2, 19)$, $\displaystyle (2, 23)$, $\displaystyle (3, 3)$, $\displaystyle (3, 5)$, $\displaystyle (3, 7)$, $\displaystyle (3, 11)$, $\displaystyle (3, 13)$, $\displaystyle (5, 5)$, $\displaystyle (5, 7)$이다.

따라서 $\displaystyle 210$으로 나누어지고 $\displaystyle f(m)=6$인 $\displaystyle 10000$이하의 자연수 $\displaystyle m$의 개수는 총 $\displaystyle 16$개다.

(2) 임의의 자연수 $\displaystyle k, m$에 대하여 $\displaystyle k m$의 소인수의 개수는 $\displaystyle k$의 소인수의 개수와 $\displaystyle m$의 소인수의 개수의 합과 같으므로

$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} f \left (n a b^{n} \right )=\sum_{n=1}^{10} \left\{f(n)+f(a)+n f(b) \right\}=\sum_{n=1}^{10} f(n)+\sum_{n=1}^{10} f(a)+\sum_{n=1}^{10} n f(b)$이다.

$\displaystyle f(1)=0$이고 $\displaystyle f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=1,\;f(4)=f(6)=f(9)=f(10)=2,$ $\displaystyle f(8)=3$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}f(n)=15$이다.

또한 $\displaystyle f(a)=5$이고 $\displaystyle f(b)=3$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} f(a)=10 \times 5=50$이고

$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} n f(b)=\frac{10 \times 11}{2} \times 3=165$

이다. 그러므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}f(nab^n)=230$이다.