자연계열 1번

【문항 1-1】두 벡터 $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec b$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라고 하자.$\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec b$가 결정하는 삼각형의 나머지 한 변의 길이는 $\displaystyle |\vec a-\vec b|$이므로제시문 (1-가)에 의하여 $\displaystyle |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta$가 성립한다.제시문 (1-나)에 의하여,$\displaystyle (a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-2\vec a\cdot\vec b$이고,따라서$\displaystyle \begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&=\frac12\{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1-b_1)^2-(a_2-b_2)^2-(a_3-b_3)^2\}\\&=\frac12\{2a_1b_1+2a_2b_2+2a_3b_3\}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\end{aligned}$

【문항 1-2】두 벡터의 $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec b$의 내적은 제시문 (1-나)에 의하여 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$이고,$\displaystyle |\cos\theta|\le1$이므로, $\displaystyle |\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|$이 성립한다.이 부등식에 $\displaystyle \vec a=(x,y,z)$, $\displaystyle \vec b=(1,2,3)$을 대입하여 양변을 제곱하면$\displaystyle (x+2y+3z)^2\le14(x^2+y^2+z^2)$이 성립함을 알 수 있다.

【문항 1-3】두 벡터 $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec b$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하고, 평행사변형의 넓이를 $\displaystyle A$라고 하면$\displaystyle A=|\vec a||\vec b|\sin\theta$이다.양변을 제곱하면,$\displaystyle \begin{aligned}A^2&=|\vec a|^2|\vec b|^2\sin^2\theta=|\vec a|^2|\vec b|^2(1-\cos^2\theta)\\&=|\vec a|^2|\vec b|^2-|\vec a|^2|\vec b|^2\cos^2\theta=|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2\end{aligned}$ (제시문 (1-나)에 의하여)$\displaystyle \begin{aligned}&=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2\\&=a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1b_1a_2b_2=(a_1b_2-a_2b_1)^2\\&=\left|\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\right|^2\end{aligned}$이 성립한다. (제시문 (1-다)에 의하여)양변에서 제곱근을 취하면 $\displaystyle A$는 0 이상이므로 $\displaystyle A=\left|\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\right|$를 얻는다.