자연계열 3번

【문항 3-1】구간 $\displaystyle [1,n]$에서의 회전체의 부피를 $\displaystyle V_n$이라고 하면, 제시문 (3-나)에 의하여$\displaystyle V_n=\pi\int_1^n\left(\frac1x\right)^2dx=\pi\Biggl[-\frac1x\Biggr]_1^n=\pi\left(1-\frac1n\right)$이다.구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서의 회전체의 부피를 $\displaystyle V$라고 하면, 제시문 (3-라)에 의하여$\displaystyle V=\lim_{n\to\infty}V_n=\lim_{n\to\infty}\pi\left(1-\frac1n\right)=\pi$이다.

【문항 3-2】구간 $\displaystyle [1,n]$에서의 곡면의 넓이를 $\displaystyle A_n$이라고 하면, 제시문 (3-다)에 의하여$\displaystyle A_n=2\pi\int_1^n\frac1x\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}dx$이다.$\displaystyle \sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}\ge1$이므로 $\displaystyle A_n\ge2\pi\int_1^n\frac1xdx=2\pi\Biggl[\ln x\Biggr]_1^n=2\pi\ln n$.$\displaystyle A$를 구하는 곡면의 넓이라면 제시문 (3-라) 의하여$\displaystyle A=2\pi\int_1^\infty\frac1x\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}dx=\lim_{n\to\infty}A_n$이다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2\pi\ln n=\infty$이므로 제시문 (3-가)에 의하여 $\displaystyle A=\lim_{n\to\infty}A_n$은 무한하다.