자연계열 3번

【제시문 3】

(3-가) 두 무한수열 $\displaystyle \{a_n\}$과 $\displaystyle \{b_n\}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\le b_n$을 만족시킨다고 하자. 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 양의 무한대로 발산하면 수열 $\displaystyle \{b_n\}$도 양의 무한대로 발산한다.

(3-나) 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 정의된 연속함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$와 $\displaystyle x=b$로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle x$축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는$\displaystyle \pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx$이다.

(3-다) 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 정의되고 모든 함숫값이 0 이상인 연속함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 곡면(회전면)의 넓이는Comment. 제시문 (3-다)는 연속성만을 조건으로 적었지만, 연속성만으로는 도함수의 존재가 보장되지 않는다. 함수가 음이 아니고 도함수가 연속이면 이 회전면의 넓이 공식을 적용할 수 있다. 이 문항의 $\displaystyle f(x)=1/x$는 $\displaystyle [1,n]$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-1/x^2$가 연속이므로 공식의 적용에 문제가 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}dx$이다.

(3-라) 함수 $\displaystyle y=f(x)$는 구간 $\displaystyle [a,\infty)$에서 정의된 연속함수이다. $\displaystyle a$보다 큰 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle A_n=\int_a^nf(x)dx$로 두면, 구간 $\displaystyle [a,\infty)$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 정적분을$\displaystyle \int_a^\infty f(x)dx=\lim_{n\to\infty}A_n$으로 정의한다.