자연계열 2번

【문항 2】$\displaystyle a_i=\frac1{1+x_i}$ ($\displaystyle >0$) ($\displaystyle i=1,2,3,4$)라 두면 $\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4=1$이다.제시문 (2-가)에 의하여$\displaystyle \sqrt[3]{a_2a_3a_4}\le\frac{a_2+a_3+a_4}3=\frac{1-a_1}3$ (등호는 $\displaystyle a_2=a_3=a_4$일 때 성립)$\displaystyle \sqrt[3]{a_1a_3a_4}\le\frac{a_1+a_3+a_4}3=\frac{1-a_2}3$ (등호는 $\displaystyle a_1=a_3=a_4$일 때 성립)$\displaystyle \sqrt[3]{a_1a_2a_4}\le\frac{a_1+a_2+a_4}3=\frac{1-a_3}3$ (등호는 $\displaystyle a_1=a_2=a_4$일 때 성립)$\displaystyle \sqrt[3]{a_1a_2a_3}\le\frac{a_1+a_2+a_3}3=\frac{1-a_4}3$ (등호는 $\displaystyle a_1=a_2=a_3$일 때 성립)위의 네 부등식에서 좌변끼리, 또 우변끼리 각각 곱하면, 제시문 (2-나)에 의하여$\displaystyle a_1a_2a_3a_4=\sqrt[3]{a_1^3a_2^3a_3^3a_4^3}\le\frac{(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)(1-a_4)}{3^4}$가 되고,$\displaystyle \frac{1-a_i}{a_i}=x_i$이므로$\displaystyle 3^4\le\frac{(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)(1-a_4)}{a_1a_2a_3a_4}=x_1x_2x_3x_4$가 성립한다.등호는 $\displaystyle a_1=a_2=a_3=a_4=\frac14$일 때 성립하므로,$\displaystyle x_1=x_2=x_3=x_4=3$이고 따라서 $\displaystyle x_1x_2x_3x_4$의 최솟값은 $\displaystyle 3^4$이다.