수학과학우수자 1번

〈논제 1-1〉함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=c$에서 미분가능하므로 제시문 (라)에 의해 $\displaystyle x=c$에서 연속이고, 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀐다는 가정에 의해 $\displaystyle x=c$를 경계로 좌에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 감소상태에 있고, 우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가상태에 있다. 따라서 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=c$에서 극소가 된다.

〈논제 1-2〉제시문 (라)에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1-2\cos2x$으로 모든 실수 $\displaystyle x$에서 미분가능하므로 $\displaystyle g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 연속이다. 따라서 제시문 (다)의 최대·최소의 정리에 의해 최솟값이 존재한다.그리고 함수 $\displaystyle g(x)=x-\sin2x$는 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 미분가능하므로$\displaystyle g^{\prime}(x)=1-2\cos2x=0\Rightarrow\cos2x=\frac12$에서 $\displaystyle x=\frac\pi6,\;\frac{5\pi}6$$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=4\sin2x$에서 $\displaystyle g^{\prime\prime}\left(\frac\pi6\right)>0$, $\displaystyle g^{\prime\prime}\left(\frac{5\pi}6\right)<0$이므로 $\displaystyle x=\frac\pi6$에서만 극솟값을 갖는다.제시문 (다)에 의해 양 끝 점에서의 함숫값과 극솟값 중에서 가장 작은 값을 구하면 $\displaystyle g(0)=0$, $\displaystyle g\left(\frac\pi6\right)=\frac\pi6-\frac{\sqrt3}2$, $\displaystyle g(\pi)=\pi$이므로 최솟값은 $\displaystyle \frac\pi6-\frac{\sqrt3}2$이다.

〈논제 1-3-〉Correction. “〈논제 1-3-〉”은 “〈논제 1-3-1〉”의 끝 번호가 빠진 표기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그림에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}=\sqrt{x^2+1}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MQ}}=\sqrt{(6-x)^2+4}$이고, (시간)=(거리)/(속력) 이므로 $\displaystyle T=h(x)=\frac{\overline{\mathrm{PM}}}{v_A}+\frac{\overline{\mathrm{MQ}}}{v_B}$이다. 따라서 $\displaystyle h(x)=\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2-12x+40}$ ($\displaystyle 0\le x\le6$)

〈논제 1-3-2〉[논제 1-3-1]에서 구한 시간 $\displaystyle T=h(x)$가 최소가 되는 $\displaystyle x=c$가 존재함을 보이면 충분하다.

닫힌구간 $\displaystyle [0,6]$에서 $\displaystyle h(x)=\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2-12x+40}$는 연속이므로 제시문 (다)의 최대·최소의 정리에 의해 최솟값이 존재한다. 따라서 시간 $\displaystyle T$가 최소가 되게 하는 $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle \mathrm M(c,0)$이 존재한다.$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac x{\sqrt{x^2+1}}-\frac{2(6-x)}{\sqrt{x^2-12x+40}}$, $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=\frac1{(x^2+1)^{3/2}}+\frac8{(x^2-12x+40)^{3/2}}$에서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,6]$에서 증가함수이다. $\displaystyle h^{\prime}(0)<0$, $\displaystyle h^{\prime}(6)>0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$는 단 하나의 실근 $\displaystyle x=c$를 가져 $\displaystyle h^{\prime}(c)=0$이고, 따라서 $\displaystyle T=h(x)$는 $\displaystyle x=c$를 경계로 감소에서 증가상태이므로 $\displaystyle x=c$에서 극솟값을 가진다. 그러므로 함수 $\displaystyle T=h(x)$의 그래프는 닫힌구간 $\displaystyle [0,6]$에서 아래로 볼록이고 $\displaystyle x=c$에서 $\displaystyle h(c)$가 유일한 최솟값을 가진다. 따라서 시간 $\displaystyle T$가 최소가 되게 하는 $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle \mathrm M(c,0)$이 꼭 하나만 존재한다.

〈논제 1-3-3〉최단시간의 원리(페르마 원리)를 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm M(c,0)$에 의해 정해지는 $\displaystyle \theta_A$, $\displaystyle \theta_B$에 대하여$\displaystyle \sin\theta_A=\frac c{\sqrt{c^2+1}}$, $\displaystyle \sin\theta_B=\frac{6-c}{\sqrt{c^2-12c+40}}$이다. 또한, 시간 함수 $\displaystyle T=h(x)=\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2-12x+40}$가 $\displaystyle x=c$에서 미분가능하고 극소이므로$\displaystyle h^{\prime}(c)=\frac c{\sqrt{c^2+1}}-\frac{2(6-c)}{\sqrt{c^2-12c+40}}=0$이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta_A-2\sin\theta_B=0$이고 $\displaystyle \frac{\sin\theta_A}{\sin\theta_B}=2$이다.