자연계열 2번

2-1.함수 $\displaystyle f(x)=e^x(1-x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 미분 가능한 함수이고$\displaystyle f^{\prime}(x)=-xe^x<0$이므로 ((나)에 의하면) 함수 $\displaystyle f$는 감소함수이다.

2-2.[존재성] $\displaystyle f(0)=1$, $\displaystyle f(1)=0$이므로 실수 $\displaystyle t$는 $\displaystyle f(0)$와 $\displaystyle f(1)$사이에 있다.함수 $\displaystyle f$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속함수이므로 (다) 중간값 정리에 의하여 $\displaystyle f(a_t)=t$인 $\displaystyle a_t$가 구간 $\displaystyle (0,1)$에 존재한다.[유일성] $\displaystyle a_t$가 유일함을 보이자(모범답안으로 세 가지 방법을 제시한다).$\displaystyle f(a_t)=f(b_t)=t$인 서로 다른 $\displaystyle a_t$와 $\displaystyle b_t$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 존재한다고 가정하자.[방법1]함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle [0,1]$에서 감소함수이므로 일대일대응이다.따라서 $\displaystyle a_t,b_t$가 서로 다르면 $\displaystyle f(a_t)$와 $\displaystyle f(b_t)$도 서로 달라야한다.이것은 $\displaystyle f(a_t)=f(b_t)=t$에 모순이다.(혹은 $\displaystyle f(a_t)=f(b_t)\Rightarrow a_t=b_t$ 이것은 서로 다른 $\displaystyle a_t$와 $\displaystyle b_t$라는 것에 모순이다.)[방법2]$\displaystyle a_t\ne b_t\Rightarrow a_t<b_t$ 또는 $\displaystyle b_t<a_t$$\displaystyle \Rightarrow f(b_t)<f(a_t)$ 또는 $\displaystyle f(a_t)<f(b_t)$ ($\displaystyle \because f$는 감소함수)이것은 $\displaystyle f(a_t)=f(b_t)=t$에 모순이다.[방법3]평균값정리에 의하면$\displaystyle 0=f(b_t)-f(a_t)=f^{\prime}(c)(b_t-a_t)\ne0$ ($\displaystyle \because f^{\prime}(c)<0$)인 점 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a_t$와 $\displaystyle b_t$사이에 존재한다. 이것은 $\displaystyle f(a_t)=f(b_t)=t$에 모순이다.

2-3.함수 $\displaystyle f$가 감소함수이므로 $\displaystyle 0\le x\le a_t\;\Rightarrow\;t=f(a_t)\le f(x)$ ($\displaystyle \because f$: 감소함수)$\displaystyle \begin{aligned}&\Rightarrow\frac{f(x)}t\ge1\\&\Rightarrow\frac{e^x(1-x)}t\ge1\end{aligned}$이다.