수리논술, 이게 다다.

의학계 1번

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부산대 2015학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2015su/uihak_1

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문제

다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

점 (x,y)\displaystyle (x,y)를 원점 O\displaystyle \mathrm O를 중심으로 각 θ\displaystyle \theta만큼 회전이동한 점을 (x′,y′)\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})라고 할 때,

원점을 중심으로 점 (x,y)를 각 θ만큼 회전이동한 점

(x′y′)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}이다.

〈논제 1-1〉이차곡선 5x2−63xy−y2−24=0\displaystyle 5x^2-6\sqrt3xy-y^2-24=0을 원점 O\displaystyle \mathrm O를 중심으로 적당한 θ(0<θ<π2)\displaystyle \theta\left(0<\theta<\frac\pi2\right)만큼 회전이동 하여 Ax′2+By′2+C=0\displaystyle Ax^{\prime2}+By^{\prime2}+C=0의 꼴로 표현하시오. (15점)

〈논제 1-2〉이차곡선 5x2−63xy−y2−24=0\displaystyle 5x^2-6\sqrt3xy-y^2-24=0의 두 초점 F\displaystyle \mathrm F와 F′\displaystyle \mathrm F^{\prime}에 대하여 F\displaystyle \mathrm F를 지나는 직선이 이차곡선과 만나는 점을 A\displaystyle \mathrm A와 B\displaystyle \mathrm B라고 하자(단, 점 F\displaystyle \mathrm F는 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}위에 있다). 삼각형 AF′B\displaystyle \mathrm{AF^{\prime}B}의 둘레의 길이가 123\displaystyle 12\sqrt3일 때, 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}의 길이를 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

부산대 2015학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2015su/uihak_1

+15점 · 회전변환의 이차곡선에의 활용

1-1.(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)−1=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}이므로(xy)=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(x′y′)=(x′cos⁡θ+y′sin⁡θ−x′sin⁡θ+y′cos⁡θ)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta\\-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta\end{pmatrix}x=x′cos⁡θ+y′sin⁡θ\displaystyle x=x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta, y=−x′sin⁡θ+y′cos⁡θ\displaystyle y=-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta를 5x2−63xy−y2−24=0\displaystyle 5x^2-6\sqrt3xy-y^2-24=0에 대입하면5(x′cos⁡θ+y′sin⁡θ)2−63(x′cos⁡θ+y′sin⁡θ)(−x′sin⁡θ+y′cos⁡θ)−(−x′sin⁡θ+y′cos⁡θ)2−24=0\displaystyle 5(x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta)^2-6\sqrt3(x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta)(-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta)-(-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta)^2-24=0풀어서 정리하면(5cos⁡2θ+63cos⁡θsin⁡θ−sin⁡2θ)x′2+(5sin⁡2θ−63cos⁡θsin⁡θ−sin⁡2θ)y′2+(63sin⁡2θ+12cos⁡θsin⁡θ−63cos⁡2θ)x′y′−24=0\displaystyle \begin{aligned}&(5\cos^2\theta+6\sqrt3\cos\theta\sin\theta-\sin^2\theta)x^{\prime2}+(5\sin^2\theta-6\sqrt3\cos\theta\sin\theta-\sin^2\theta)y^{\prime2}\\&\qquad+(6\sqrt3\sin^2\theta+12\cos\theta\sin\theta-6\sqrt3\cos^2\theta)x^{\prime}y^{\prime}-24=0\end{aligned} … (*)이므로63sin⁡2θ+12cos⁡θsin⁡θ−63cos⁡2θ=0\displaystyle 6\sqrt3\sin^2\theta+12\cos\theta\sin\theta-6\sqrt3\cos^2\theta=0 …… (∗∗)\displaystyle (\ast\ast)가 되기 위한 θ\displaystyle \theta를 구하기 위해[방법1]식 (∗∗)\displaystyle (\ast\ast)를 cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta로 나누어3tan⁡2θ+2tan⁡θ−3=0\displaystyle \sqrt3\tan^2\theta+2\tan\theta-\sqrt3=0를 만족하는 tan⁡θ>0\displaystyle \tan\theta>0 (∵0<θ<π2\displaystyle \because0<\theta<\frac\pi2)를 구하면(근의 공식 또는 인수분해 이용)tan⁡θ=13\displaystyle \tan\theta=\frac1{\sqrt3}이므로,θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6이고(*)에 대입하면,2x′2−y′2−6=0\displaystyle 2x^{\prime2}-y^{\prime2}-6=0가 된다.

[방법2]2배각 공식 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta와 cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos2\theta를 이용하면 식 (∗∗)\displaystyle (\ast\ast)는3cos⁡2θ=sin⁡2θ\displaystyle \sqrt3\cos2\theta=\sin2\theta이므로tan⁡2θ=3\displaystyle \tan2\theta=\sqrt3이고2θ=π3\displaystyle 2\theta=\frac\pi3 즉, θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6이고(*)에 대입하면,2x′2−y′2−6=0\displaystyle 2x^{\prime2}-y^{\prime2}-6=0가 된다.

+15점 · 쌍곡선의 정의의 이해

1-2.회전 변환에 의해 초점과 이차곡선 위의 점들과의 거리는 변화하지 않으므로,쌍곡선 2x′2−y′2−6=0\displaystyle 2x^{\prime2}-y^{\prime2}-6=0 즉, x′23−y′26=1\displaystyle \frac{x^{\prime2}}3-\frac{y^{\prime2}}6=1의 초점을 F\displaystyle \mathrm F와 F′\displaystyle \mathrm F^{\prime}라 하고 F\displaystyle \mathrm F를 지나는 직선이 x′23−y′26=1\displaystyle \frac{x^{\prime2}}3-\frac{y^{\prime2}}6=1과 만나는 점을 A\displaystyle \mathrm A와 B\displaystyle \mathrm B라고 할 때,

회전한 쌍곡선의 초점 F와 F′ 및 F를 지나는 직선 위의 A와 B

쌍곡선 위의 점 A\displaystyle \mathrm A와 B\displaystyle \mathrm B에서 두 초점까지의 거리의 차가 23\displaystyle 2\sqrt3으로 일정하므로AF′‾−AF‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{AF^{\prime}}}-\overline{\mathrm{AF}}=2\sqrt3이고 F′B‾−FB‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}B}}-\overline{\mathrm{FB}}=2\sqrt3이므로 두식을 합하면AF′‾+F′B‾−AB‾=43\displaystyle \overline{\mathrm{AF^{\prime}}}+\overline{\mathrm{F^{\prime}B}}-\overline{\mathrm{AB}}=4\sqrt3 …… (i)이고,삼각형 AF′B\displaystyle \mathrm{AF^{\prime}B}의 둘레의 길이가 123\displaystyle 12\sqrt3이므로AF′‾+F′B‾+AB‾=123\displaystyle \overline{\mathrm{AF^{\prime}}}+\overline{\mathrm{F^{\prime}B}}+\overline{\mathrm{AB}}=12\sqrt3 …… (ii)이다.식 (ii)에서 식 (i)을 빼면 2AB‾=83\displaystyle 2\overline{\mathrm{AB}}=8\sqrt3이므로 AB‾=43\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=4\sqrt3이다.

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