의학계 1번

1-1.$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$이므로$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta\\-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta\end{pmatrix}$$\displaystyle x=x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta$, $\displaystyle y=-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta$를 $\displaystyle 5x^2-6\sqrt3xy-y^2-24=0$에 대입하면$\displaystyle 5(x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta)^2-6\sqrt3(x^{\prime}\cos\theta+y^{\prime}\sin\theta)(-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta)-(-x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta)^2-24=0$풀어서 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}&(5\cos^2\theta+6\sqrt3\cos\theta\sin\theta-\sin^2\theta)x^{\prime2}+(5\sin^2\theta-6\sqrt3\cos\theta\sin\theta-\sin^2\theta)y^{\prime2}\\&\qquad+(6\sqrt3\sin^2\theta+12\cos\theta\sin\theta-6\sqrt3\cos^2\theta)x^{\prime}y^{\prime}-24=0\end{aligned}$ … (*)이므로$\displaystyle 6\sqrt3\sin^2\theta+12\cos\theta\sin\theta-6\sqrt3\cos^2\theta=0$ …… $\displaystyle (\ast\ast)$가 되기 위한 $\displaystyle \theta$를 구하기 위해[방법1]식 $\displaystyle (\ast\ast)$를 $\displaystyle \cos^2\theta$로 나누어$\displaystyle \sqrt3\tan^2\theta+2\tan\theta-\sqrt3=0$를 만족하는 $\displaystyle \tan\theta>0$ ($\displaystyle \because0<\theta<\frac\pi2$)를 구하면(근의 공식 또는 인수분해 이용)$\displaystyle \tan\theta=\frac1{\sqrt3}$이므로,$\displaystyle \theta=\frac\pi6$이고(*)에 대입하면,$\displaystyle 2x^{\prime2}-y^{\prime2}-6=0$가 된다.

1-2.회전 변환에 의해 초점과 이차곡선 위의 점들과의 거리는 변화하지 않으므로,쌍곡선 $\displaystyle 2x^{\prime2}-y^{\prime2}-6=0$ 즉, $\displaystyle \frac{x^{\prime2}}3-\frac{y^{\prime2}}6=1$의 초점을 $\displaystyle \mathrm F$와 $\displaystyle \mathrm F^{\prime}$라 하고 $\displaystyle \mathrm F$를 지나는 직선이 $\displaystyle \frac{x^{\prime2}}3-\frac{y^{\prime2}}6=1$과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm A$와 $\displaystyle \mathrm B$라고 할 때,