의학계 2번

2-1.$\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x^mg(x)$ (단, $\displaystyle m$은 자연수, $\displaystyle g(x)$는 다항식, $\displaystyle g(0)\ne0$)의 꼴로 나타낼 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=mx^{m-1}g(x)+x^mg^{\prime}(x)$이므로$\displaystyle 0<x<1$에 대하여$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac mx+\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}$이고,$\displaystyle \lim_{x\to0+0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\left(\lim_{x\to0+0}\frac mx\right)+\frac{g^{\prime}(0)}{g(0)}=\infty$마찬가지로, $\displaystyle f(1)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=(x-1)^kh(x)$ (단, $\displaystyle k$는 자연수, $\displaystyle h(x)$는 다항식, $\displaystyle h(1)\ne0$)의 꼴로 나타낼 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=k(x-1)^{k-1}h(x)+(x-1)^kh^{\prime}(x)$이므로 $\displaystyle 0<x<1$에 대하여$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac k{x-1}+\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$이고, $\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\left(\lim_{x\to1-0}\frac k{x-1}\right)+\frac{h^{\prime}(1)}{h(1)}=-\infty$

2-2.$\displaystyle f(x)$가 다항식이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$도 다항식이고, 다항식은 연속함수이며,$\displaystyle 0<x<1$에서 $\displaystyle f(x)\ne0$이므로 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$는 연속함수이고2-1에서 $\displaystyle \lim_{x\to0+0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\infty$이므로, (라)에 의하면 임의의 실수 $\displaystyle r$에 대하여 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}=r$인 $\displaystyle a$가 구간 $\displaystyle (0,1)$에 반드시 존재한다.즉, $\displaystyle f^{\prime}(a)=rf(a)$인 $\displaystyle a$가 구간 $\displaystyle (0,1)$에 존재한다.

2-3.(나)에 의해, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle g(x)$는 연속함수이므로 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle g(x)$의 최댓값을 $\displaystyle M$, 최솟값을 $\displaystyle m$이라 두자.구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f(x)\ge0$이므로$\displaystyle mf(x)\le f(x)g(x)\le Mf(x)$이다.각 변을 0에서 1까지 적분하면$\displaystyle m\int_0^1f(x)dx\le\int_0^1f(x)g(x)dx\le M\int_0^1f(x)dx$이고,$\displaystyle \int_0^1f(x)dx=1$이므로, $\displaystyle m\le\int_0^1f(x)g(x)dx\le M$이다.