부산대 2015학년도 수시 의학계 2번 해설

다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

(가) $\displaystyle x$ 가 $\displaystyle a$ 보다 큰 값을 가지면서 $\displaystyle a$ 에 한없이 가까워짐에 따라 $\displaystyle f(x)$ 의 값이 한없이 커질 때, $\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ 와 같이 나타내고, $\displaystyle x$ 가 $\displaystyle a$ 보다 작은 값을 가지면서 $\displaystyle a$ 에 한없이 가까워짐에 따라 $\displaystyle f(x)$ 의 값이 한없이 작아질 때, $\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty$ 와 같이 나타낸다.

(나) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

(다) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서의 최댓값을 $\displaystyle M$ , 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 할 때, $\displaystyle m\le r\le M$ 인 임의의 실수 $\displaystyle r$ 에 대하여, $\displaystyle f(c)=r$ 인 실수 $\displaystyle c$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에 존재한다.

(라) 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to b-0}f(x)=-\infty$ 이면 임의의 실수 $\displaystyle r$ 에 대하여 $\displaystyle f(c)=r$ 인 $\displaystyle c$ 가 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에 존재한다.

(마) $\displaystyle f(x)$ 가 다항식이고 $\displaystyle f(a)=0$ 이면, $\displaystyle f(x)=(x-a)^kg(x)$ 로 표현된다. 이때, $\displaystyle k$ 는 자연수, $\displaystyle g(x)$ 는 다항식이고 $\displaystyle g(a)\ne0$ 이다.

$\displaystyle f(x)$ 는 다항식이고 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 이며, 열린구간 $\displaystyle (0,1)$ 에서 $\displaystyle f(x)>0$ 라 할 때,

〈논제 2-1〉 $\displaystyle \lim_{x\to0+0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\infty$ 가 됨을 증명하시오. (15점)

〈논제 2-2〉임의의 실수 $\displaystyle r$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=rf(a)$ 인 $\displaystyle a$ 가 구간 $\displaystyle (0,1)$ 에 존재함을 증명하시오. (10점)

〈논제 2-3〉 $\displaystyle \int_0^1f(x)dx=1$ 일 때, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여, $\displaystyle \int_0^1f(x)g(x)dx=g(b)$ 인 $\displaystyle b$ 가 구간 $\displaystyle [0,1]$ 에 존재함을 증명하시오. (15점)

부산대 2015학년도 수시 의학계 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2015su/uihak_2

+15점 · 적합한 경우의 수를 구해내기

2-1. $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^mg(x)$ (단, $\displaystyle m$ 은 자연수, $\displaystyle g(x)$ 는 다항식, $\displaystyle g(0)\ne0$ )의 꼴로 나타낼 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=mx^{m-1}g(x)+x^mg^{\prime}(x)$ 이므로 $\displaystyle 0<x<1$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac mx+\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}$ 이고, $\displaystyle \lim_{x\to0+0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\left(\lim_{x\to0+0}\frac mx\right)+\frac{g^{\prime}(0)}{g(0)}=\infty$ 마찬가지로, $\displaystyle f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=(x-1)^kh(x)$ (단, $\displaystyle k$ 는 자연수, $\displaystyle h(x)$ 는 다항식, $\displaystyle h(1)\ne0$ )의 꼴로 나타낼 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=k(x-1)^{k-1}h(x)+(x-1)^kh^{\prime}(x)$ 이므로 $\displaystyle 0<x<1$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac k{x-1}+\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$ 이고, $\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\left(\lim_{x\to1-0}\frac k{x-1}\right)+\frac{h^{\prime}(1)}{h(1)}=-\infty$

+10점 · 중간값 정리

2-2. $\displaystyle f(x)$ 가 다항식이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 도 다항식이고, 다항식은 연속함수이며, $\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle f(x)\ne0$ 이므로 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ 는 연속함수이고2-1에서 $\displaystyle \lim_{x\to0+0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\infty$ , $\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\infty$ 이므로, (라)에 의하면 임의의 실수 $\displaystyle r$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}=r$ 인 $\displaystyle a$ 가 구간 $\displaystyle (0,1)$ 에 반드시 존재한다.즉, $\displaystyle f^{\prime}(a)=rf(a)$ 인 $\displaystyle a$ 가 구간 $\displaystyle (0,1)$ 에 존재한다.

+15점 · 최대 최소의 정리

2-3.(나)에 의해, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 $\displaystyle g(x)$ 는 연속함수이므로 구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 $\displaystyle g(x)$ 의 최댓값을 $\displaystyle M$ , 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 두자.구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 $\displaystyle f(x)\ge0$ 이므로 $\displaystyle mf(x)\le f(x)g(x)\le Mf(x)$ 이다.각 변을 0에서 1까지 적분하면 $\displaystyle m\int_0^1f(x)dx\le\int_0^1f(x)g(x)dx\le M\int_0^1f(x)dx$ 이고, $\displaystyle \int_0^1f(x)dx=1$ 이므로, $\displaystyle m\le\int_0^1f(x)g(x)dx\le M$ 이다.

(다)에 의하면 $\displaystyle \int_0^1f(x)g(x)dx=g(b)$ 인 $\displaystyle b$ 가 구간 $\displaystyle [0,1]$ 에 존재한다.

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