부산대 2015학년도 수시 의학계 3번 해설

다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

임의의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 를 넘지 않는 최대의 정수를 $\displaystyle [x]$ 로 나타낸다.예를 들어, $\displaystyle [3.14]=3$ , $\displaystyle [7]=7$ 이다.

$\displaystyle \triangle$ 는 평면상의 세 점 $\displaystyle (0,0)$ , $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (1,1)$ 을 꼭지점으로 하는 직각삼각형의 내부의 점들로 이루어진 집합이다. 즉, $\displaystyle \triangle=\{(x,y)\mid0<x<1,\;0<y<x\}$ 이다. 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \triangle$ 의 부분집합 $\displaystyle A_n$ 을 $\displaystyle A_n=\left\{(x,y)\in\triangle\;\middle|\;\left[\log_2\frac xy\right]=2n-1\right\}$ 로 정의하고, $\displaystyle A_n$ 의 면적을 $\displaystyle a_n$ 이라 할 때,Correction. 발문의 ‘꼭지점’은 ‘꼭짓점’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

〈논제 3-1〉 $\displaystyle a_n$ 을 구하시오. (15점)

〈논제 3-2〉무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 의 값을 구하시오. (5점)

〈논제 3-3〉 $\displaystyle \triangle$ 의 점 $\displaystyle (x,y)$ 중 $\displaystyle \left[\log_2\frac xy\right]$ 가 자연수가 되는 점 $\displaystyle (x,y)$ 의 전체 집합을 $\displaystyle S$ 라고 할 때, 집합 $\displaystyle S$ 에서 임의의 점 $\displaystyle (a,b)$ 를 뽑았을 때 $\displaystyle \left[\log_2\frac ab\right]$ 가 홀수가 될 확률을 구하시오. (10점)

부산대 2015학년도 수시 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2015su/uihak_3

+15점 · 수열의 일반항 구하기

3-1.가우스 함수 $\displaystyle [\;]$ 의 정의는 임의의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle n\le x<n+1$ 일 때 $\displaystyle [x]=n$ (여기서 $\displaystyle n$ 은 정수)이다. $\displaystyle (x,y)\in A_n=\left\{(x,y)\in\triangle\;\middle|\;\left[\log_2\frac xy\right]=2n-1\right\}$ 이면 $\displaystyle \left[\log_2\frac xy\right]=2n-1$ 이다.

그러므로 $\displaystyle 2n-1\le\log_2\frac xy<2n$ $\displaystyle 2^{2n-1}\le\frac xy<2^{2n}$ 역수를 취하여 $\displaystyle \frac1{2^{2n}}<\frac yx\le\frac1{2^{2n-1}}$ 이 된다. 그러므로 $\displaystyle \frac1{2^{2n}}x<y\le\frac1{2^{2n-1}}x$ 을 얻을 수 있다이를 그림으로 그려보면 다음과 같다.

삼각형 내부에서 y=2의 정수 거듭제곱을 기울기로 하는 직선들이 나눈 영역 A1과 A2

삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times$ 높이 $\displaystyle \times$ 밑변이므로 $\displaystyle a_n=$ $\displaystyle A_n$ 의 넓이 $\displaystyle =\frac12\left(\frac1{2^{2n-1}}-\frac1{2^{2n}}\right)$ $\displaystyle a_n=\frac12\left(\frac1{2^{2n}}\right)=\frac12\left(\frac14\right)^n$ 이 된다.

3-2.

+5점 · 무한급수의 값 구하기

수열 $\displaystyle a_n$ 은 등비급수로공비가 $\displaystyle \frac14$ , 초항이 $\displaystyle \frac18$ 이다.

무한등비급수의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac12\left(\frac14\right)^n=\frac{\frac18}{1-\frac14}=\frac16$ 이다.

3-3.

+10점 · 확률 구하기

구하는 확률 $\displaystyle =\frac{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}{S\text{의 넓이}}$ 이다. …………………………………(4점)

$\displaystyle S$ 의 넓이가 $\displaystyle \frac14$ 이므로 …………………………………(4점)3-2의 결과로부터확률 $\displaystyle =\frac{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}{S\text{의 넓이}}=\frac{\frac16}{\frac14}=\frac23$ …………………………………(2점)를 얻을 수 있다.

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의학계 3번

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