자연계열 1번

(1-1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle (p,\sqrt3p)$라 하자. $\displaystyle f(x)=ax^2+t$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(p)=2ap=\sqrt3$이다. 한편, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점이므로 $\displaystyle ap^2+t=\sqrt3p$가 성립한다.두 식 $\displaystyle 2ap=\sqrt3$과 $\displaystyle ap^2+t=\sqrt3p$를 연립하여 풀면, $\displaystyle p=\frac{2}{\sqrt3}t$, $\displaystyle a=\frac{3}{4t}$이 나온다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt3}t,2t\right)$, $\displaystyle g(t)=\frac{3}{4t}$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 $\displaystyle y-2t=-\frac1{\sqrt3}\left(x-\frac2{\sqrt3}\right)$이므로 $\displaystyle y=-\frac1{\sqrt3}x+\frac83t$이다.Correction. 직선 PQ의 식에서 괄호 안의 $\displaystyle \frac2{\sqrt3}$는 $\displaystyle \frac{2t}{\sqrt3}$의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

이 직선과 $\displaystyle x$축이 만나는 점이 $\displaystyle \mathrm{Q}$이므로 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac8{\sqrt3}t,0\right)=\left(\frac{8\sqrt3}{3}t,0\right)$이다.

(1-2) 원 $\displaystyle C$의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$이라 하면 $\displaystyle R=\overline{\mathrm{PQ}}=4t$이다. 다음 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm{M}(0,g(t))$에서 원 $\displaystyle C$에 그은 접선과 $\displaystyle C$의 접점, $\displaystyle \mathrm{M}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$를 꼭짓점으로 하는 도형은 직각삼각형이므로, $\displaystyle \ell(t)^2=\overline{\mathrm{MQ}}^2-R^2=\frac{16}{3}t^2+\frac9{16}t^{-2}$이다.

따라서 $\displaystyle \ell(t)=\left(\frac{16}{3}t^2+\frac9{16}t^{-2}\right)^{1/2}$이므로 $\displaystyle \ell^{\prime}(t)=\frac{\frac{32}{3}t-\frac9{8t^3}}{2\sqrt{\frac{16}{3}t^2+\frac9{16t^2}}}$이고 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\ell^{\prime}(t)=\frac4{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}$이다.

(1-3) 한 변의 길이가 $\displaystyle k$인 정삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12k^2\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{4}k^2$이다.직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 $\displaystyle y=-\frac1{\sqrt3}x+\frac83t$이므로 입체의 부피는 다음과 같이 $\displaystyle u=-\frac1{\sqrt3}x+\frac83t$로 두고 치환적분법을 이용하여 계산하면$\displaystyle V=\frac{\sqrt3}{4}\int_{\frac2{\sqrt3}t}^{\frac{8\sqrt3}{3}t}\left(-\frac1{\sqrt3}x+\frac83t\right)^2dx=\frac{\sqrt3}{4}\int_{2t}^0u^2(-\sqrt3)du=2t^3$이다.