자유전공학부 2번

(2-1) $\displaystyle \mathrm{C}$를 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}$이라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}^{\prime}}=\frac{n-1}{2}$

이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{CC}^{\prime}}=n$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{5n^2-2n+1}}{2}$

이고, $\displaystyle \sin\alpha=\frac{2n}{\sqrt{5n^2-2n+1}}$이다.

$\displaystyle \sin\alpha=\frac{2n}{\sqrt{5n^2-2n+1}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{5n^2+2n+1}}2$

이므로 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{5n^2+2n+1}}2}{\frac{2n}{\sqrt{5n^2-2n+1}}}=\frac{\sqrt{25n^4+6n^2+1}}{4n}=2r(n)$

이므로 $\displaystyle r(n)=\frac{\sqrt{25n^4+6n^2+1}}{8n}$이다.

(2-3) 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)=25x^4+6x^2+1$, $\displaystyle k(x)=\frac{206+50d}{3}x^3-\frac{3d}{2}x^2$이라 하면, $\displaystyle f(n)=h(n)$, $\displaystyle g(n)=k(n)$이다. $\displaystyle p(x)=h(x)-k(x)$라 하면, $\displaystyle a_n=p(n)$이고, $\displaystyle p^{\prime}(x)=x(50x-3)(2x-d-4)$이다.

따라서 $\displaystyle 1\le x\le\frac{d+4}{2}$에서 $\displaystyle p(x)$는 감소하고, $\displaystyle x>\frac{d+4}{2}$에서 $\displaystyle p(x)$는 증가한다. 자연수 $\displaystyle n$일 때, $\displaystyle p(n)$의 값을 비교하여 $\displaystyle n=2d-6$에서 최솟값을 얻으므로, $\displaystyle 2d-6=\frac{d+4}{2}$, 또는 $\displaystyle 2d-6\pm\frac12=\frac{d+4}{2}$이다.

$\displaystyle 2d-6=\frac{d+4}{2}$이면 $\displaystyle d=\frac{16}{3}$이고, $\displaystyle d$가 자연수임에 위배된다. $\displaystyle 2d-6-\frac12=\frac{d+4}{2}$이면 $\displaystyle d=\frac{17}{3}$이고 역시 $\displaystyle d$가 자연수임에 위배된다. $\displaystyle 2d-6+\frac12=\frac{d+4}{2}$이면 $\displaystyle d=5$이다. $\displaystyle d=5$일 때, $\displaystyle p(4)=-3111$, $\displaystyle p(5)=-\frac{6073}{2}$이므로, $\displaystyle p(4)<p(5)$이고, $\displaystyle \{a_n\}$은 $\displaystyle n=4=2d-6$에서 최솟값을 가진다. 따라서 답은 $\displaystyle d=5$이다.